Bases orthogonales, bases orthonormales

1. Pour trouver une décomposition de \(q\) « en carrés » on utilise la méthode de Gauss.

Dans l'expression de \(q(x)\) la variable \(x_1\) n'intervient que par le terme \(9x_1^2,\) on peut donc écrire \(q(x)\) sous la forme

\(q(x) = q(x_1, x_2, x_3, x_4) = 9x_1^2 + q_1(x_2, x_3, x_4)\)

où \(q_1(x_2, x_3, x_4)\) est une forme quadratique.

Il reste donc à décomposer « en carrés » \(q_1(x_2, x_3, x_4).\)

On ordonne par rapport à \(x_2 : q_1(x_2, x_3, x_4) = 5x_2^2 + 4(2x_3 - x_4)x_2 + 5x_3^2 + 4x_3x_4 + 8x_4^2\)

On utilise l'identité \(x^2 + 2xy = (x + y)^2 - y^2\)

\(q_1(x_2, x_3, x_4) = 5[x_2+\frac{2}{5}(2x_3 - x_4)]^2 - \frac{4}{5}(2x_3 - x_4)^2 + 5x_3^2 + 4x_3x_4 + 8x_4^2\)

On obtient : \(q_1(x_2, x_3, x_4) = 5(x_2 + \frac{4}{5}x_3 - \frac{2}{5}x_4)^2 + \frac{9}{5}x_3^2 + \frac{36}{5}x_3x_4 + \frac{36}{5}x_4^2.\)

D'où \(q_1(x_2, x_3, x_4) = 5(x_2 + \frac{4}{5}x_3 - \frac{2}{5}x_4)^2 + \frac{9}{5}(x_3 + 2x_4)^2.\)

Finalement, pour tout \(x = (x_1, x_2, x_3, x_4)~\textrm{de}~\mathbb R ^4\) on a :

\(q(x) = 9x_1^2 + 5(x_2 + \frac{4}{5}x_3 - \frac{2}{5}x_4)^2 + \frac{9}{5}(x_3 + 2x_4)^2\)

Donc \(q(x)\) est combinaison linéaire des carrés de 3 formes linéaires indépendantes ; on en déduit que son rang est 3.

Les 3 coefficients sont positifs donc sa signature est \((3, 0).\)

On en déduit qu'elle est dégénérée et que c'est une forme positive.

2. On cherche l'ensemble \(\mathcal{I}\) des vecteurs isotropes (ou cône isotrope) de \(q\), c'est-à-dire les \(x = (x_1, x_2, x_3, x_4)~\textrm{de}~\mathbb R ^4\) tels que \(q(x) = 0.\)

D'après la décomposition de \(q\) en carrés trouvée à la question précédente, on a :

\(q(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 + \frac{4}{5}x_3 - \frac{2}{5}x_4 = 0 \\ x_3 + 2x_4 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = 2x_4 \\ x_3 = -2x_4\end{cases}\)

Donc \(\mathcal{I}\) est l'ensemble des vecteurs de \(\mathbb R ^4\) de la forme \(x = (0,2x_4, -2x_4, x_4),\) c'est la droite vectorielle de \(\mathbb R ^4\) engendrée par le vecteur \((0, 2, -2, 1)\); on peut remarquer que c'est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R ^4.\) Ceci était prévisible car la forme \(q\) est positive, et, dans ce cas particulier, le noyau et l'ensemble des vecteurs isotropes sont identiques, donc ce dernier est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R ^4.\)

3. Pour déterminer le noyau de \(q\) on peut, ou bien utiliser la remarque précédente et on a immédiatement que le noyau est \(\mathbb R (0, 2, -2, 1),\) ou bien le déterminer directement de la façon suivante :

La matrice \(M\) associée à la forme \(q\) dans la base canonique de \(\mathbb R ^4\) est :

\(M = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 4 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 2 \\ 0 & -2 & 2 & 8 \end{pmatrix}\)

On résout le système \(MX = O\) et on obtient :

\(\begin{cases} 9x_1 = 0 \\ 5x_2 + 4x_3 - 2x_4 = 0 \\ 4x_2 + 5x_3 + 2x_4 = 0 \\ -2x_2 + 2x_3 + 8x_4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 0 \\ 5x_2 + 4x_3 - 2x_4 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = -x_3 \\ x_4 = -\frac{1}{2}x_3 \end {cases}\)

On retrouve pour le noyau la droite vectorielle \(\mathbb R (0, -1, 1, -\frac{1}{2})\) c'est-à-dire \(\mathbb R (0, 2, -2, 1).\)