Exemples en géométrie analytique
Résolution de systèmes à 3 équations et 3 inconnues
Le système \(S\)
\(\left\{ \begin{array}{lcl} u ~x + v~y + w~z &=&h\\ u'x + v' y + w' z &=&h' \\u''x + v'' y + w'' z &=&h'' \end{array}\right.\)
représente l'intersection de trois plans \(P, P',P''.\)
La solution de ce système par Gauss conduit aux cas suivants :
Cas r = 3
La solution de ce système par Gauss conduit au système :
\(\left\{ \begin{array}{r@{\ =\ }c} ux+v~y +w~z &h \\ v_{1}y+w_{2} z & k \\ w_{3}z &k' \end{array}\right.\)
Solution unique. Les trois plans se coupent en un point.
Le nombre \(r\) d'équations restantes après application de la méthode du pivot est égal à 3 et s'appelle le rang.
Cas r = 2
La solution de ce système par Gauss conduit au système :
\(\left\{ \begin{array}{r@{\ =\ }c} ux+v~y +w~z &h \\ v_{1}y+v_{2} z & k \\ 0 & k' \end{array}\right.\)
On a ici supposé \(u \ne 0\) et \(v_{1} \ne 0\) (éventuellement en faisant une permutation de \(x, y, z\)).
Géométriquement le premier plan \(P\) n'a pas changé ; le second a été remplacé par un plan du faisceau défini par \(P\) et \(P'\). Au cours du premier pivotage, le troisième plan a été remplacé par un plan \(P"\) parallèle ou confondu avec \(P'\). Cela signifie que les intersections de \(P\) et \(P'\), et de \(P\) avec \(P''\) sont parallèles ou confondues. Il y a donc deux cas :
La condition de possibilité n'est pas vérifiée : les trois plans sont parallèles à une même droite.
La condition de possibilité est vérifiée, les trois plans passent par une même droite et les solutions s'écrivent :
\(\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& k+wz \\ y &=& k'+w'z \end{array} \right.\)
Soit :
\(\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) =\left ( \begin{array}{c} k \\ k' \\ 0 \end{array} \right ) + z \left ( \begin{array}{c} w \\ w' \\ 1 \end{array} \right )\)
Le nombre \(r\) d'équations restantes après application de la méthode du pivot, le rang, est égal à 2. Il y a une condition de possibilité.
Cas r = 1
Alors le système devient :
\(\left\{ \begin{array}{ccc} u x + vy + wz &=&h \\ 0 &=& k \\ 0 &=& k' \end{array}\right.\)
Donc les plans \(P\), \(P'\) et \(P"\) sont parallèles. Les conditions de possibilité consistent à écrire que \(P\) et \(P'\), \(P\) et \(P"\) sont confondus.
Si l'une des conditions n'est pas vérifiée, le système est impossible.
Si les trois plans sont confondus ; les solutions s'expriment sous la forme d'une représentation paramétrique de ce plan avec y et z comme paramètres :
\(\left\{ \begin{array}{lll} x & = &k + v_{1}y + w_{1} \\ y &=&y \\ z & = & z \end{array}\right.\)
\(\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) =\left ( \begin{array}{c} k \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) + y \left ( \begin{array}{c} v_{1}\\ 1 \\ 0 \end{array} \right )+z \left ( \begin{array}{c} w_{1}\\ 0 \\ 1 \end{array} \right )\)
Le nombre \(r\) d'équations restantes après application de la méthode du pivot, le rang, est égal à 1. Il y a deux conditions de possibilité.