Mathématiques
Précédent
Suivant
Solutions d'un système homogène

Une solution de est un vecteur de dont les coordonnées vérifient le système .

Les solutions de système homogène forment un sous-espace vectoriel de .

En effet, le système possède toujours au moins une solution, la solution nulle ; et toute combinaison linéaire des solutions du système homogène est une solution de ce système.

Lorsqu'on choisit une base de l'espace des solutions composée de solutions du système , une solution quelconque s'exprime sur cette base à l'aide de constantes qui sont les coordonnées de cette solution sur la base.

La solution générale d'un système homogène est l'expression d'une solution de ce système à l'aide d'une base de solutions. Elle s'exprime à l'aide de paramètres, en nombre égal à la dimension de cet espace.

Expression des solutions d'un système homogène

Supposons donc le système équivalent au système :

avec les pivots successifs non nuls : .

On appelle les inconnues principales et les inconnues non principales.

La résolution conduit à exprimer comme des combinaisons linéaires de .

Base de solutions d'un système linéaire homogène

Les solutions de s'écrivent sous la forme :

Rang d'un système linéaire homogène
  • sont des solutions du système .

  • toute solution de s'exprime comme combinaison linéaire de Cette famille de solutions est donc une famille génératrice du sous-espace de engendré par les solutions de .

  • la famille est une famille indépendante ; ceci est évident si on examine les dernières coordonnées.

  • la famille forme donc une base de l'espace des solutions. Cet espace est de dimension .

  • Conclusion : le nombre r est donc indépendant du choix des pivots successifs. Si le système a pour seule solution la solution .

Exemple

Supposons donné un système de 4 équations à 5 inconnues dont la résolution par Gauss conduise à :

On a choisi et comme inconnues non principales et calculé en fonction de et .

Le rang du système est 3 :

On écrit les solutions :

Exemple

Supposons donné un système de 5 équations à 4 inconnues dont la résolution conduise à :

est l' inconnue non principale ;

sont calculées en fonction de .

Le rang est 3.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)