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Étude du système complet
Étude du système S

Le choix des mêmes pivots que pour le système conduit au système :

Cas possibles suivants les valeurs de r, m, et n :

Cas

Cas

Cas

Cas

Cas r < m et r < n

conditions de possibilité : les dernières équations.

  • si toutes ces conditions sont vérifiées, on calcule les solutions à l'aide des premières équations.

  • si l'une au moins des conditions n'est pas vérifiée, le système est impossible.

Cas r = m et r < n

Pas de condition de possibilité. La résolution conduit à :

Écriture des solutions du système S

Solution particulière du système S

Les sont des combinaisons linéaires de

est une solution particulière du système .

La solution générale du système s'obtient en ajoutant à la solution particulière du système la solution générale du système .

Cas r = n et r < m

conditions de possibilité

  • Si l'une au moins des conditions n'est pas vérifiée, le système est impossible.

  • Si toutes ces conditions sont vérifiées, on calcule les solutions à l'aide des premières équations. admet une unique solution et admet aussi une unique solution.

Cas r = n = m

Cas de Cramer : Pas de conditions de possibilité. Le système admet une solution unique.

Conclusion

Bilan de ces discussions :

: le système est un système de Cramer qui possède une solution unique.

: il y a conditions de possibilités.

: il y a inconnues non principales. La dimension de l'espace des solutions du système est .

Légende :
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