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Méthode de résolution de Gauss
Méthode

Deux systèmes sont équivalents s'ils ont les mêmes solutions.

Certaines transformations changent un système en un système équivalent, en particulier les transformations suivantes :

  • changer l'ordre des équations ;

  • changer l'ordre des inconnues (dans toutes les équations à la fois) ;

  • multiplier une équation par un nombre non nul ;

  • conserver toutes les lignes sauf une et ajouter à cette dernière ligne une combinaison des autres.

Il est facile de vérifier que ces transformations sont réversibles et donc qu'elles transforment un système en un système équivalent.

La méthode de Gauss est une méthode qui applique systématiquement les transformations précédentes pour transformer le système en un système "triangulaire".

Nous ne la détaillons pas ici, car nous la supposons, connue et appliquée systématiquement par les étudiants.

Lien entre les résolutions des systèmes associés

Nous pouvons remarquer que nous pouvons faire exactement le même calcul sur les premiers membres des équations du système et du système homogène associé .

Le choix des pivots et l'entier sont les mêmes pour les deux systèmes et .

Objectif :

Montrer que l'entier ne dépend pas des choix successifs que nous avons faits pour les pivots.

Lien entre les solutions des systèmes S et S indice H

On peut remarquer que si sont deux solutions du système alors est solution du système . Toutes les solutions du système sont déterminées si on connaît une solution du système et si on connaît toutes les solutions du système .

La solution générale du système s'obtient en ajoutant à une solution particulière du système la solution générale du système .

Soient les deux systèmes associés suivants et mis sous la forme suivante après application de la méthode du pivot :

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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