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À certaines parties du plan on associe une mesure qu'on appelle aire.

Rappel : Propriétés demandées à une mesure

Cela consiste à définir sur l'ensemble de ces parties une fonction ayant les propriétés suivantes :

  1. si désigne un rectangle dont les mesures des côtés sont respectivement et ,

Les conditions 2, 3 entraînent :

Soient un intervalle de , une application de dans , et deux points de l'intervalle , ; on note :

et on cherche à définir le symbole de telle sorte que ce nombre représente l'aire de .

Compte tenu des propriétés demandées (de mesure), les conditions suivantes doivent être vérifiées :

1. si est constante positive : , on a alors

2. si on a alors

3. si on a alors :

On complète ces conditions par :

4. si est constante négative : , alors

ce qui revient à compter négativement les aires en dessous de l'axe des .

Désormais on ne supposera donc plus la fonction considérée positive. On a ainsi établi quatre conditions nécessaires, elles entraînent que si est un point de et si l'on pose :

, et ,

le nombre doit vérifier :

.

On va définir le symbole en :

  • découpant l'intervalle ,

  • encadrant la fonction par des fonctions constantes sur chaque intervalle (d'où la nécessité pour d'être bornée sur ),

  • additionnant les aires correspondantes.

Légende :
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