Mathématiques
Précédent
Suivant
Sommes de Darboux

Soit une fonction bornée sur . On considère une subdivision de qu'on note :

.

On pose pour et .

Définition

On appelle

  1. somme de Darboux inférieure associée à et le nombre .

  2. somme de Darboux supérieure associée à et le nombre

Dans les démonstrations on omettra et dans les notations concernant les sommes de Darboux, et on notera l'ensemble des subdivisions de .

Propriétés des sommes de Darboux

Proposition

Quelle que soit la subdivision , on a :

Démonstration immédiate.

Proposition

Si est une subdivision plus fine que alors :

.

Preuve

on passe de à en ajoutant un nombre fini de points, c'est à dire par opérations qui consistent chacune à ajouter un point (Détails).

Première étape : On suppose que a un point de plus que :

On pose :

et ,

on a :

et d'où

.

Dans et tous les autres termes sont identiques on a donc :

.

On montre de même l'inégalité .

Seconde étape : Pour passer de à on forme une suite de subdivisions en partant de et en passant de en ajoutant un point, jusqu'à obtenir .

On définit deux suites finies de réels croissante et decroissante d'où .

Proposition

Si et sont deux subdivisions quelconques de , on a alors :

.

Preuve

on a, d'après la proposition 2

.

Définition

L'ensemble non vide est borné supérieurement, on note sa borne supérieure,

L'ensemble non vide est borné inférieurement, on note sa borne inférieure.

On a immédiatement :

.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)