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Fonction intégrable au sens de Riemann

On considère une fonction bornée sur .

Définition : Fonction intégrable au sens de Riemann

On dit que est intégrable au sens de Riemann ( ou Riemann intégrable sur ) si :

.

On note alors ce nombre intégrale définie de sur l'intervalle .

Quand il n'y a pas d'ambiguité on omettra et dans les notations , et l'on parlera de fonction intégrable sans préciser au sens de Riemann.

Conséquences :
  1. Si est une subdivision quelconque de , alors .

    En particulier, si , et , on a .

  2. Si est constante sur ,alors est intégrable et :

    d'où :

    .

On a défini l'intégrabilité d'une fonction par l'égalité d'une borne inférieure et d'une borne supérieure, c'est très abstrait. Le théorème suivant, qui exprime une condition nécessaire et suffisante, permet de franchir l'étape qui consiste à passer de borne supérieure à limite de suite.

Théorème

Pour que soit intégrable sur , il faut et il suffit que, pour tout , il existe une subdivision de telle que :

.

Preuve

Condition nécessaire

On suppose intégrable sur c'est–à-dire qu'on a .

Soit , l'égalité a pour conséquence qu'il existe une subdivision telle que :

 ;

De même l'égalité a pour conséquence qu'il existe une subdivision telle

.

On considère alors la subdivision , on a

et ,

  d'où

.

(Le facteur n'a bien évidemment rien de perturbant : il suffit de couper le en deux au départ !)

Condition suffisante

Soit ; par hypothèse il existe une subdivision de telle que .

On a alors, pour tout : , on en déduit et est intégrable sur .

Application immédiate 

Exemple de fonction non intégrable, la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels.

Soit la fonction caractéristique des rationnels ( elle prend la valeur si est rationnel et sinon). On considère l'intervalle . On a alors quelle que soit la subdivision :

.

(Signalons que cette fonction est intégrable au sens de Lebesgue car l'ensemble des rationnels est "négligeable").

Légende :
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