Introduction
Pour montrer qu'une fonction est intégrable, on cherche à appliquer le théorème précédent, donc à déterminer, étant donné \(\epsilon> 0\) une subdivision \(\sigma\) de \([a , b]\) telle que \(S(\sigma) - s(\sigma) < \epsilon\). Pratiquement on considère la subdivision régulière d'ordre \(n\) c'est-à-dire :
\(\sigma_n=\left\{x_i=a+\frac{b-a}{n}i,i=0,1,2....n\right\}\)
tous les intervalles ont même longueur égale au pas \(1/n\).
Ceci présente l'intérêt de transformer le problème en un problème de limite de suite, plus facile à concevoir et à résoudre qu'un problème de borne supérieure.
On a alors
\(S(\sigma_n)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n M_i\left(\frac{b-a}n\right)}=\left(\frac{b-a}n\right)\displaystyle{\sum_{i=1}^n M_i}\)
et \(s(\sigma_n)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n m_i\left(\frac{b-a}n\right)}=\left(\frac{b-a}n\right)\displaystyle{\sum_{i=1}^n m_i}\)
d'où
\(S(\sigma_n)-s(\sigma_n)=(\frac{b-a}{n})\displaystyle{\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)}\).
A priori, c'est le choix de \(n\) qui permet de réaliser la condition d'intégrabilité (\(n\) grand), toutefois il faut aussi que
\(\displaystyle{\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)}\) puisse être évalué ou majoré facilement, c'est le cas pour les fonctions monotones ou les fonctions continues.