Fonctions continues

Théorème

Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \([a , b]\), alors \(f\) est intégrable sur \([a , b]\).

Preuve

Elle repose sur la propriété que, la fonction étant continue et l'intervalle fermé borné, la fonction est uniformément continue sur \([a , b]\), ce qui permet de trouver \(N\) donc un découpage de l'intervalle tel que \(M_i - m_i\) soit majoré indépendamment de \(i\) sur chaque intervalle élémentaire de la subdivision.

(Détails)

Voir complément :

Explication

Preuve :

Rappelons que \(f\) uniformément continue sur \([a , b]\) signifie :

\(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists \eta>0,\forall x_1\in[a,b],\forall x_2\in[a,b], (|x_1-x_2|<\eta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon)}\)

( \(\eta\) dépend seulement de \(\epsilon\) et non de \(x_1\) et \(x_2\) dans l'intervalle \([a , b]\) ).

On a \(\displaystyle{0< S(\sigma_n)-s(\sigma_n)=\left(\frac{b-a}{n}\right)\displaystyle{\sum_{i-1}^n(M_i-m_i)}}\).

Prenant alors \(n\) tel que \(\displaystyle{\frac{b-a}{n}<\eta}\) , on a

\(\displaystyle{i=1,2,....n\quad M_i-m_i<\epsilon}\)

d'où

\(\displaystyle{0< S(\sigma_n)-s(\sigma_n)\leq\frac{(b-a)}{n}\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\epsilon}=(b-a)\epsilon}\).