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Théorème de la moyenne, sommes de Riemann
Théorème

Si est intégrable sur et si l'on pose et

alors .

Si est continue sur , alors il existe tel que

.

(formule dite première formule de la moyenne).

Preuve

Il suffit de considérer la subdivision , on a :

Si est continue, on conclut avec le théorème des valeurs intermédiaires.

Ce théorème montre que l'intégrale vérifie la condition exposée dans le préliminaire (partie definition).

Pourquoi formule de la moyenne ?

Pour tout entier , soit la subdivision régulière d'ordre ; on considère un ensemble de points

. Alors l'expression représent la valeur moyenne de la fonction aux points .

On a alors le corollaire :

Corollaire : Corollaire 1 :

Si la fonction est intégrable sur , alors

Si est continue sur , alors il existe tel que

Ceci justifie pour la dénomination de valeur moyenne de la fonction sur .

Preuve

Les inégalités : entraînent

Le premier membre et le troisième membre de cette double inégalité représentent respectivement .

et .

D'où, et donc

Dans le cas où f est continue sur , on en déduit :

On remarque que le choix des points dans chaque intervalle de la subdivision n'intervient pas

Remarque : pour la fonction représentée dans la vidéo, les inégalités sont strictes

Remarque

les expressions de la forme sont des sommes de Riemann de relativement à la subdivision .

Plus généralement, pour une fonction définie sur un intervalle , on peut définir la somme de Riemann de relative à :

  • une subdivision quelconque de et

  • un choix de points .

Définition

On appelle somme de Riemann de relative à et à l'ensemble de points le réel .

On a alors un second corollaire qui se démontre comme le premier.

Corollaire : Corollaire 2 :

Si est intégrable sur les sommes de Riemann de ont toutes pour limite quand le pas de la subdivision tend vers .

Ceci signifie que :

pour tout , il existe tel que, pour toute subdivision de pas et pour toute famille

on ait :

Les applications de la "formule de la moyenne" sont nombreuses en particulier pour calculer la limite de suites de la forme :

Exemple

Etude de la suite

Dans ce type d'exercices, il s'agit de faire apparaître le terme , puis de trouver à la fois la fonction et l'intervalle.

Ici on écrit . En considérant la fonction  et l'intervalle ,on voit qu'on peut écrire . Nous verrons, après le théorème fondamental liant intégrale et primitive que cette intégrale vaut .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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