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Inégalités
Théorème : Positivité

Si et sont des fonctions intégrables sur , on a les implications :

  1. ,

  2. ,

  3. .

Preuve
  1. La condition , d'où, d'après le théorème de la moyenne,

    .

  2. On écrit la condition , on applique alors ( 1. ) puis la linéarité de l'intégrale.

  3. On a , on applique ( 2. ), on en déduit :

    .

Théorème : Inégalité de Schwarz

Si et sont des fonctions continues sur on a ;

Preuve

On a d'après le théorème précédent (positivité) :

Il s'agit d'un trinôme du second degré en qui est toujours positif quel que soit , son discriminant est donc négatif ou nul. D'où l'inégalité.

Le théorème suivant, dont la démonstration est plus difficile que celles des théorèmes précédents, précise la positivité, il est d'une grande utilité dans l'étude des espaces de fonctions.

Théorème

Soit une fonction continue sur positive ou nulle ; alors si , on a .

Preuve

c'est une démonstration par l'absurde qui repose sur la propriété, déjà souvent utilisée, qu'une fonction continue en un point et non nulle en ne s'annule pas au voisinage de et donc garde un signe constant au voisinage de (c'est à dire qu'il existe un voisinage de sur lequel elle garde un signe constant).

On suppose donc qu'il existe un point tel que .

Dans la définition de la continuité en , on pose , alors :

.

(on choisit  assez petit pour que  ).

Comme est positive ou nulle sur , par la relation de Chasles, on obtient .

D'où la contradiction.

Remarque : Le résultat est faux si la fonction n'est pas continue : ainsi la fonction définie par

est telle que et n'est pas nulle.

Légende :
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