Conséquences

La cas où a>b

Nous avons toujours supposé  \(a < b\); on pose

\(\displaystyle{\int_b^af(t)dt=-\int_a^bf(t)dt}\),

convention compatible avec la relation de Chasles.

Attention les inégalités de positivité vues précédemment supposent toujours \(a < b\).

L'intégrabilité des fonctions monotones et continues par morceaux

Définition

Une fonction \(f\) est monotone par morceaux sur un intervalle \([a , b]\) s'il existe une subdivision \(\{\alpha_0, \alpha_1, .... ,\alpha_N\}\) telle que \(f\) soit monotone sur chaque intervalle \([\alpha_k ,\alpha_{k+1}]\).

Définition

Une fonction \(f\) est continue par morceaux sur un intervalle \([a, b]\) s'il existe une subdivision \(\{\alpha_0, \alpha_1,....\alpha_N\}\) telle que \(f\) soit continue sur chaque intervalle \(]\alpha_k,\alpha_{k+1}[\) et a une limite à droite en \(\alpha_k\) et une limite à gauche en \(\alpha_{k+1}\).

En fait une fonction continue par morceaux sur un intervalle \([a, b]\) est une fonction continue sauf en un nombre fini de points où elle a une limite à droite et une limite à gauche.

Une conséquence de la relation de Chasles d'une part et de l'intégrabilité des fonctions continues et monotones est que les fonctions les fonctions continues par morceaux sont intégrables.