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Changement de variable - Cas Général
Théorème

Soit une fonction de classe sur un intervalle , on pose ; alors si est une fonction continue sur un intervalle contenant l'image on a :

.

Remarque : préliminaire :

La fonction étant continue, l'image de par est un intervalle

et

Attention

en général . Ainsi avec on a :

.

Preuve

On considère les fonctions et définies par

On a :

On définit alors sur par :

et . On a donc :

D'où est constante ; or .

Définition

L'application qui transforme l'intégrale de sur en l'intégrale d'une autre fonction sur un autre intervalle définit un changement de variable.

Remarque

Pour obtenir l'égalité : , on voit que dans le premier membre il suffit de

  • poser , alors , appelé élément différentiel, devient ,

  • remplacer les bornes par et .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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