Le cas bijectif

Cas où le changement de variable est bijectif

La formule, utilisée dans l'autre sens,

\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=\int_{\alpha}^{\beta}(f\circ\phi)(u)\phi'(u)du}\)

présente de l'intérêt dans le cas où la recherche des primitives de \((f\circ\phi)\phi'\) est plus simple que celle des primitives de \(f\).

On "devine" le changement de variable.

Mais la difficulté provient du fait qu'on a :

\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt\textrm{ et non }\int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)}f(t)dt}\)

Donc, quand on écrit :

\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=\int_{\alpha}^{\beta}(f\circ\phi)(u)\phi'(u)du}\)

il faut trouver \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\phi(\alpha)=\alpha\textrm{ et }\phi(\beta)=b\) . La fonction \(\phi\) doit donc être bijective de \([\alpha ,\beta]\) sur \([a , b]\), alors \(\displaystyle{\alpha=\phi^{-1}{(a)}\textrm{ et }\beta=\phi^{-1}(b)}\). Comme \(\phi\) est de classe \(C^1\) il suffit qu'elle soit monotone sur \([\alpha ,\beta]\) .On a alors :

\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}(f\circ\phi)(u)\phi(u)du}\)

Exemple

On a dit qu'on devinait le changement de variable ; une bonne connaissance des formules trigonométriques aide parfois dans cette opération.

Ainsi, pour le calcul de l'intégrale : \(\displaystyle{\int_0^1\frac{dt}{(1+t^2)\sqrt{1+t^2}}}\)

On remarque que, si l'on pose \(\displaystyle{t=\phi(u)\textrm{ avec }\phi=\tan}\) , on a alors :

\(\displaystyle{(f\circ\phi)(u)\phi'(u)=\frac{1+\tan^2u}{(1+\tan^2u)\sqrt{1+\tan^2u}}=\cos u>0}\)

La fonction\(\tan\) est monotone et établit une bijection de \([0,\frac{\pi}{4}]\) sur \([0,1]\), la fonction réciproque étant \(\arctan\), on a donc :

\(\displaystyle{\int_0^1\frac{dt}{(1+t^2)\sqrt{1+t^2}}=\int_0^{\tfrac{\pi}{4}}\cos udu=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Pratiquement : on pose \(t =\tan u\) d'où \(u = \arctan \;t\),

\(\displaystyle{du=\frac{dt}{1+t^2}\textrm{ et }\sqrt{1+\tan^2u}=\frac{1}{\cos u}}\). D'où le résultat.