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Quand utiliser un changement de variable ?

Le cas le plus simple est celui où on "reconnaît" dans l'élément différentiel de l'intégrale proposée le groupement \((f\circ\phi)(t)\phi'(t)dt\)

Exemple

Calcul de l'intégrale \(\displaystyle{\int_2^3\frac{dt}{t\ln t}}\). L'élément différentiel s'écrit \(\displaystyle{\frac{dt}{t\ln t}=\frac{\phi'(t)}{\phi(t)}dt\textrm{ avec }\phi=\ln,\textrm{ d'où }f:u\mapsto\frac{1}{u}}\).

La formule de changement de variable s'écrit dans ce cas :

\(\displaystyle{\int_2^3\frac{dt}{t\ln t}=\int_{\ln2}^{\ln3}\frac{du}{u}=\ln\ln3-\ln\ln2}\)

Du point de vue pratique on pose \(\displaystyle{u=\ln t\textrm{ d'où }du=\frac{dt}{t}}\) et

\(\displaystyle{\int_2^3\frac{dt}{t\ln t}=\int_{\ln2}^{\ln3}\frac{du}{u}=\ln\ln3-\ln\ln2}\)

Proposition

Soit \(f\) une fonction périodique de période \(T\) , continue sur \(\mathbb R\), on a alors :

\(\displaystyle{\forall\alpha\in R\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t)dt=\int_0^{T}f(t)dt}\)

Preuve

On utilise la relation de Chasles :

\(\displaystyle{\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t)dt=\int_{\alpha}^0f(t)dt+\int_0^{T}f(t)dt+\int_{T}^{\alpha+T}f(t)dt}\)

On considère l'intégrale \(\displaystyle{\int_{T}^{\alpha+T}f(t)dt\textrm{ on pose }t=u+T}\),on obtient :

\(\displaystyle{\int_0^{\alpha}f(u+T)dt=\int_0^{\alpha}f(u)du=-\int_{\alpha}^0f(u)du}\),

d'où le résultat.