Autres méthodes et estimations d'erreur
Nous allons maintenant considérer une méthode dite à deux points, aussi appelée méthode des trapèzes.
Comme précédemment, si \(f\) est la fonction à intégrer sur un intervalle \([a,b]\), on découpe cet intervalle en \(N\) sous-intervalles égaux et pose
\(\displaystyle{x_0=a,x_1=a+h,x_2=a+2h,...,x_{N-1}=a+(N-1)h,x_N=a+Nh}\)
où \(\displaystyle{h=\frac{b-a}{N}}\) est appelé le pas (de la subdivision).
Dans chaque intervalle de la subdivision, on considère la fonction affine qui prend respectivement les valeurs \(f(x_i)\) et \(f(x_{i+1})\) pour \(x=x_i\) et \(x=x_{i+1}\). En d'autres termes, on remplace la fonction à intégrer par une fonction \(g\) polynomiale par morceaux. Ici les polynômes sont de degré 1 (donc définis par leurs valeurs en 2 points).
On obtient la formule des trapèzes en remplaçant l'intégrale de\(f\) par celle de \(g\), d'un point de vue plus géométrique, on remplace l'aire sous le graphe de \(f\) par la somme des aires des trapèzes de base\(\displaystyle{[x_i,x_{i+1}]}\) et de hauteurs \(f(x_i)\) (à gauche) et \(f(x_{i+1})\) à droite
On peut observer cela grâce à l'application suivante :
Plus précisement, on a
\(\displaystyle{\int_{x_i}^{x_{i+1}}g(t)dt=(f(x_i)+f(x_{i+1}))h/2}\)
et
\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=(f(a)+f(b))\frac{h}{2}+(\displaystyle{\sum_{i=1}^{N-1}f(x_i))h}}\)
On veut maintenant estimer l'erreur commise avec cette méthode,
\(\displaystyle{E_3=\int_a^b(f-g)(t)dt}\)
On cherche l'équation de la droite \(y= a x+ b\) telle que
\(\displaystyle{f(x_{i+1})=ax_{i+1}+b,f(x_i)=ax_i+b}\)
On obtient alors la fonction affine par morceaux définie sur l'intervalle \([x_i, x_{i+1}]\) par
\(\displaystyle{g(x)=f(x_i)+\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}(x-x_i)}\)
(vérifier que la fonction \(g\) coïncide avec \(f\) aux points d'abscisses \(x_i\) et \(x_{i+1}\)).
Pour tout \(x\in[x_i,x_{i+1}]\) , il existe \(y\in[x_i,x_{i+1}]\) tel que
\(f(x)-g(x)=\frac{1}{2}(x-x_i)(x_{i+1}-x)f''(y)\)
On obtient alors une estimation d'erreur en considérant un majorant \(M_2\) de la dérivée seconde de \(f\) sur \([a,b]\) en supposant qu'il existe (ce qui est le cas si la fonction est deux fois continûment dérivable).
On a (par le changement de variables \(u= t-x_i\) )
\(\displaystyle{\int_{x_i}^{x_{i+1}}(t-x_i)(x_{i+1}-t)dt=\int_0^hu(h-u)du=\frac{h^3}{6}}\)
On obtient alors en recollant les morceaux
\(\displaystyle{|E_3|\leq\frac{NM_2h^3}{12}=\frac{(b-a)M_2h^2}{12}=\frac{(b-a)^3M_2}{12N^2}}\)
On constate donc que la formule des trapèzes est d'ordre 2.
Il existe de très nombreuses autres méthodes qu'on ne détaillera pas ici .Citons néanmoins la méthode de Simpson.
Méthode : La méthode de Simpson
On prend des polynômes d'interpolation de degré 2. Si
\(g\) est le polynôme d'interpolation sur \([x_i,x_{i+1}]\), on vérifie aisément que
\((*)\displaystyle{\int_{x_i}^{x_{i+1}}g(t)dt=\frac{x_{i+1}-x_i}{6}\left(g(x_i)+4g(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})+g(x_{i+1})\right)}\)
(écrire \(g(t)=at^2+bt+c\) et faire le calcul.)
on en déduit alors l'approximation
\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt\approx\frac{b-a}{6N}(f(a)+4\displaystyle{\sum_{i=1}^{N-1}f(x'_i)+f(b))}}\)
où l'on a posé\(\displaystyle{x'_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}}\)
(Petit) miracle
La formule (\(*\)) est encore exacte pour les polynômes de degré 3 et la formule de Simpson est d'ordre 3 .
On peut donner une majoration de l'erreur \(E_4\) , pour des fonctions 4 fois continuement dérivables :
\(\displaystyle{|E_4|\leq\frac{(b-a)h^4M_4}{2880}=\frac{(b-a)^5M_4}{2880N^4}}\)
où\(M_4=\displaystyle{\sup_{t\in[a,b]}|f^{(4)}(t)|}\) . La valeur précise de la constante (2880) n'est pas très significative car il est souvent très délicat d'estimer \(M_4\) (qui suppose en outre beaucoup de régularité pour \(f\)). Pour une fonction régulière, il est néanmoins évident que la méthode de Simpson, d'ordre 4, converge plus rapidement que les méthodes précédentes d'ordre 2 (trapèzes, point milieu) pour un coût sensiblement identique.
Remarque : Lien entre les deux méthodes
On aurait pu également présenter la méthode des trapèzes comme une "combinaison linéaire" des méthodes des points droit et gauche ou bien la méthode de Simpson comme une combinaison de la méthode des trapèzes et du point mileu, en cherchant les coefficients pour lesquelles on obtient la meilleure formule de quadrature (pour une présentation dans cette direction, on lira le livre de D. Monasse, Math. et Informatique, Vuibert) . Nous avons préféré une approche liée aux polynômes d'interpolation.
Enfin, il existe d'autres formules de quadrature partant d'une problématique différente : comment placer les points de quadrature pour avoir la meilleure formule possible. Plus précisement, la méthode de Gauss consiste à chercher les points de quadrature de sorte que la formule soit exacte pour les polynomes de degré inférieur ou égal à p. Cette formule étant exacte pour "beaucoup" de polynômes , il est raisonnable d'espérer qu'elle ne devrait pas être mauvaise pour des fonctions.
En pratique, si on cherche l'exactitude pour des polynômes de degré 2, on obtient la formule de quadrature suivante :
\(\displaystyle{E_5=I-\frac{b-a}{2N}\displaystyle{\sum_{i=0}^{N-1} f\left(x_{i+1/2}+\frac{\sqrt{3}(x_i-x_{i+1})}{6}\right)+f\left(x_{i+1/2}-\frac{\sqrt{3}(x_i-x_{i+1})}{6}\right)}}\)
et la formule d'erreur est comparable à celle de la méthode de Simpson
\(\displaystyle{|E_5|\leq\frac{(b-a)M_4h^4}{864}}\)
(on peut renvoyer à nouveau au livre de D. Monasse).