Mathématiques
Précédent
Application : un équivalent de n!

But : trouver un équivalent de quand tend vers l'infini.

Démarche suivie
  • travailler avec le logarithme (ce qui transforme le produit en somme),

  • introduire une intégrale et la calculer (formellement),

  • calculer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes,

  • majorer l'erreur grâce au calcul d'une autre intégrale,

  • conclure en utilisant la formule de Wallis.

Démonstration

Prenons le logarithme de  :

1. Considérons l'intégrale

Une intégration par parties montre que

2. Le calcul de cette intégrale par la méthode des trapèzes avec un pas de 1 donne

note l'erreur dans la méthode des trapèzes.

On en déduit que

3. Comme la fonction logarithme est concave, sur chaque intervalle l'erreur dans les méthodes des trapèzes est positive et est une fonction croissante de .

Le cours donne une majoration de cette erreur. Sur , l'erreur est majorée par

On en déduit que

Comme la fonction est décroissante, cette somme est majorée par

On en déduit que la suite croissante est majorée, elle est donc convergente, notons sa limite et posons puis .

4. On a donc

en prenant l'exponentielle

Soit quand

Pour déterminer , utilisons la formule de Wallis (déjà vue)

et reportons, on obtient :

d'où l'on déduit et quand

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)