Fonctions localement intégrables

On considère un intervalle \(\mathcal I\) de \(\mathbf R\) qui n'est ni vide, ni réduit à un point et qui n'est pas un intervalle fermé borné. Il est donc d'un des types énumérés plus haut. On considère une fonction \(f\) réelle définie sur \(\mathcal I\). On supposera \(f\) localement intégrable sur\( \mathcal I\).

Définition

Une fonction\( f\) localement intégrable sur\( \mathcal I\) est une fonction intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans \(\mathcal I\).

Par exemple si \(\mathcal I=[a,+\infty[\) cela signifie que, pour tout \(x> a\), l'intégrale existe \(\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)dt}\), ou encore que la fonction \(\displaystyle{\mathcal F :x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)dt}\) est définie sur l'intervalle \([a,+\infty[\).

Exemple

  • la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x}}\) est localement intégrable sur les intervalles \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\);

  • la fonction logarithme est localement intégrable sur l'intervalle \(]0,+\infty[\);

  • la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{1-x^2}}\) est localement intégrable sur les intervalles \(]-\infty,-1[,]-1,1[\) et \(]1,+\infty[\).