Exemples

Intégration d'une fonction définie sur un intervalle non borné

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle \([a,+\infty[,(a\in\mathbf R)\). On suppose \(f\) localement intégrable, ce qui signifie que la fonction \(\displaystyle{\mathcal F :x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)dt}\) est définie sur l'intervalle \([a,+\infty]\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), trois cas peuvent se présenter :

  • la fonction \(\mathcal F\) a une limite (au sens de limite finie), exemple1

  • la fonction \(\mathcal F\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), exemple2

  • la fonction\( \mathcal F\) n'a pas de limite, exemple3

ExempleExemple 1

On considère la fonction \(x\mapsto\textrm e^{-x}\) sur \([0,+\infty[\). On a, pour tout \(\displaystyle{x > 0,\int_{0}^{x}\textrm{e}^{-t}dt}=1-\textrm e^{-x}\) , d'où \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\int_{0}^{x}\textrm e^{-t}dt=1}\).

ExempleExemple 2

On considère la fonction\( x\mapsto\ln x\) sur\( [1,+\infty[\). On a pour tout \(x > 1\),

\(\displaystyle{\int_{1}^{x}\ln tdt=x\ln x-x+1=x(\ln x-1)+1}\) , d'où \(\displaystyle{\int_{1}^{x}\ln t}\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

ExempleExemple 3

On considère la fonction cosinus sur \([0,+\infty[\). On a, pour tout \(\displaystyle{x > 0,\int_{0}^{x}\cos tdt}=\sin x\) , donc \(\displaystyle{\int_{0}^{x}\cos tdt}\) n'a pas de limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

Intégration d'une fonction non bornée, définie sur un intervalle borné non fermé

Soit \(f\) une fonction numérique, définie sur un intervalle \([a,b[,(a< b)\). On suppose \(f\) non bornée au voisinage de \(b\), et localement intégrable, ce qui signifie que la fonction\( \displaystyle{\mathcal F :x\mapsto\int_{a}^{x}f(t)dt}\) est définie sur l'intervalle \([a,b[,(a< b)\). Quand \(x\) tend vers\( b\), trois cas peuvent se présenter :

  • la fonction \(\mathcal F\) a une limite (au sens de limite finie) exemple 1 ;

  • la fonction \(\mathcal F\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) exemple 2 ;

  • la fonction \(\mathcal F\) n'a pas de limite, exemple 3.

ExempleExemple 1

On considère la fonction \(x\mapsto\ln(1-x)\) sur \([0,1[\). Pour tout \(x\) de \([0,1[\), on a :

\(\displaystyle{\int_{0}^{x}\ln(1-t)dt}=-(1-x)\ln(1-x)-x\)

, d'où \(\displaystyle{\lim_{x\to1}\int_{0}^{x}\ln(1-t)}dt=-1\).

ExempleExemple 2

On considère la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{1-x^2}}\) sur \([0,1[\). On a pour tout \(x,0\leq x<1 ,\),

\(\displaystyle{\int_{0}^{x}\frac{dt}{1-t^2}=\frac{1}{2}\left[\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)\right]_{0}^{x}=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}\)

d'où \(\displaystyle{\int_{0}^{x}\frac{dt}{1-t^2}}\)

tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(1\).

ExempleExemple 3

On considère la fonction\( \displaystyle{x\mapsto\frac{1}{(1-x)^2}\sin\left(\frac{1}{1-x}\right)}\) sur\( [0,1[\). On a, pour tout \(x,0\leq x<1\)

\(\displaystyle{\int_{0}^{x}\frac{1}{(1-t)^2}\sin\left(\frac{1}{1-t}\right)dt=\left[-\cos\left(\frac{1}{1-t}\right)\right]_{0}^{x}=\cos1-\cos\left(\frac{1}{1-x}\right)}\)

, d'où \(\displaystyle{\int_{0}^{x}\frac{1}{(1-t)^2}\sin\left(\frac{1}{1-t}\right)dt}\) n'a pas de limite quand \(x\) tend vers \(1\).