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Critère de Cauchy pour les intégrales impropres

On considère une fonction , localement intégrable sur un intervalle , avec ou . Nous avons vu que le problème de la convergence de l'intégrale revient au problème de l'existence de la limite de la fonction définie par quand tend vers . On se ramène à un problème de limite de suites, en utilisant le théorème qui lie l'existence de la limite d'une fonction en un point à la convergence de toutes les suites images des suites convergentes de limite .

Cette convergence est montrée par le critère de Cauchy, d'où le nom de critère de Cauchy, par lequel on désigne le théorème suivant.

Théorème

Soit une fonction localement intégrable sur un intervalle , avec ou . Pour que l'intégrale soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute suite de limite , la suite définie par soit convergente. On a alors :

.

On en déduit le critère de Cauchy pour les intégrales impropres.

Théorème

Soit une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle , avec ou . Pour que l'intégrale soit convergente, il faut et il suffit que, pour tout , il existe tel que, quels que soient les réels et vérifiant les inégalités , on ait .

Soit encore en langage formalisé,

Preuve

C'est pour la démonstration de la condition suffisante qu'on utilise le théorème précédent. Il s'agit d'un critère de Cauchy, c'est-à-dire qui utilise la convergence des suites de Cauchy, donc la propriété de d'être complet. Pour la condition nécessaire, il s'agit d'une application directe de la définition de la limite.

Détails :

Condition nécessaire

On suppose l'intégrale convergente. Cela signifie que la fonction définie par a une limite finie que nous noterons , quand tend vers . Donc, pour tout , il existe tel que les inégalités entraînent .

Soit . Il existe donc tel que :

On déduit, par inégalité triangulaire :

et

Soient donc et tels que .

On déduit, par inégalité triangulaire : et donc

On a donc montré :

Condition suffisante

On suppose la condition réalisée. On considère une suite de points de , telle que . Soit . Il existe tel que, pour , on ait . Les inégalités entraînent alors

On a donc montré :

Ce qui signifie que la suite est une suite de Cauchy. Elle est donc convergente dans . D'après le théorème précédent, l'intégrale est convergente.

Légende :
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