Critère de Cauchy pour les intégrales impropres

On considère une fonction \(f\), localement intégrable sur un intervalle \([a,\omega[\), avec \(\omega\in\mathbf R\) ou \(\omega=+\infty\). Nous avons vu que le problème de la convergence de l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt}\) revient au problème de l'existence de la limite de la fonction \(\mathcal F\) définie par \(\displaystyle{\mathcal F(x)=\int_a^{x}f(t)dt}\) quand \(x\) tend vers \(\omega\). On se ramène à un problème de limite de suites, en utilisant le théorème qui lie l'existence de la limite d'une fonction en un point \(\omega\) à la convergence de toutes les suites images des suites convergentes de limite \(\omega\).

Cette convergence est montrée par le critère de Cauchy, d'où le nom de critère de Cauchy, par lequel on désigne le théorème suivant.

Théorème

Soit\( f\) une fonction localement intégrable sur un intervalle \([a,\omega[\), avec \(\omega\in\mathbb R\) ou \(\omega=+\infty\). Pour que l'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{\omega}f(t)dt}\) soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute suite \((x_n)\) de limite \(\omega\), la suite \((\mathcal F(x_n))\) définie par \(\displaystyle{\mathcal F(x_n)=\int_a^{x_n}f(t)dt}\) soit convergente. On a alors :

\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=\lim_{n\to+\infty}\mathcal F(x_n)}\)

.

On en déduit le critère de Cauchy pour les intégrales impropres.

Théorème

Soit \(f\) une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle\( [a,\omega[\), avec \(\omega\in\mathbb R\) ou \(\omega=+\infty\). Pour que l'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{\omega}f(t)dt}\) soit convergente, il faut et il suffit que, pour tout \(\epsilon>0\), il existe \(\mathcal X(\epsilon)\) tel que, quels que soient les réels \(\mathcal X_1\) et \(\mathcal X_2\) vérifiant les inégalités \(\mathcal X(\epsilon)<\mathcal X_1<\mathcal X_2<\omega\), on ait \(\displaystyle{\left\vert\int_{\mathcal X_1}^{\mathcal X_2}f(t)dt\right\vert<\epsilon}\).

Soit encore en langage formalisé,

\(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\mathcal X(\epsilon),\forall\mathcal X_1\in[a,\omega[,\forall\mathcal X_2\in[a,\omega[,\mathcal X(\epsilon)<\mathcal X_1<\mathcal X_2<\omega\Rightarrow\left\vert\int_{\mathcal X_1}^{\mathcal X_2}f(t)dt\right\vert<\epsilon}\)

Preuve

C'est pour la démonstration de la condition suffisante qu'on utilise le théorème précédent. Il s'agit d'un critère de Cauchy, c'est-à-dire qui utilise la convergence des suites de Cauchy, donc la propriété de \(\mathbb R\) d'être complet. Pour la condition nécessaire, il s'agit d'une application directe de la définition de la limite.

Détails :

Condition nécessaire

On suppose l'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{\omega}f(t)dt}\) convergente. Cela signifie que la fonction \(\mathcal F\) définie par \(\displaystyle{\mathcal F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt}\) a une limite finie que nous noterons \(\mathcal L\), quand \(x\) tend vers \(\omega\). Donc, pour tout \(\epsilon>0\), il existe \(\mathcal X(\epsilon)\) tel que les inégalités \(\mathcal X(\epsilon)< x<\omega\) entraînent \(\vert\mathcal F(x)-\mathcal L\vert<\epsilon\).

Soit \(\epsilon>0\) . Il existe donc \(\mathcal X(\epsilon)\in[a,\omega[\) tel que :

On déduit, par inégalité triangulaire :

\(\displaystyle{\forall\mathcal X_1,\forall\mathcal X_2,\mathcal X(\epsilon)<\mathcal X_1<\mathcal X_2<\omega\Rightarrow(\vert\mathcal F(\mathcal X_1)-\mathcal L\vert)<\epsilon}\) et \(\vert\mathcal F(\mathcal X_2)-\mathcal L\vert<\epsilon)\)

Soient donc \(\mathcal X_1\) et \(\mathcal X_2\) tels que \(\mathcal X(\epsilon)<\mathcal X_1<\mathcal X_2<\omega\) .

On déduit, par inégalité triangulaire : \(\left\vert\mathcal F(\mathcal X_2)-\mathcal F(\mathcal X_1)\right\vert<2\epsilon\) et donc \(\displaystyle{\left\vert\int_{\mathcal X_1}^{\mathcal X_2}f(t)dt\right\vert<2\epsilon}\)

On a donc montré : \(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\mathcal X(\epsilon)\in[a,\omega[,\forall\mathcal X_1,\forall X_2,\mathcal X(\epsilon)<\mathcal X_1<\mathcal X_2<\omega\Rightarrow\left\vert\int_{\mathcal X_1}^{\mathcal X_2}f(t)dt\right\vert<2\epsilon}\)

Condition suffisante

On suppose la condition réalisée. On considère une suite \((x_n)\) de points de \([a,\omega[\), telle que \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}x_n=\omega}\). Soit \(\epsilon>0\). Il existe \(\mathcal N(\epsilon)\) tel que, pour \(n > \mathcal N(\epsilon)\), on ait \(x_n>\mathcal X(\epsilon)\) . Les inégalités \(p> m>\mathcal N(\epsilon)\) entraînent alors

\(\displaystyle{\left\vert\mathcal F(x_p)-\mathcal F(x_n)\right\vert=\left\vert\int_{x_n}^{x_0}f(t)dt\right\vert<\epsilon}\)

On a donc montré :\( \displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\mathcal N(\epsilon),\forall p,\forall m,\mathcal N(\epsilon)< m< p\Rightarrow\left\vert\int_{x_n}^{x_0}f(t)dt\right\vert}<\epsilon\)

Ce qui signifie que la suite \((\mathcal F(x_n))\) est une suite de Cauchy. Elle est donc convergente dans \(\mathbf R\). D'après le théorème précédent, l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{\omega}f(t)dt}\) est convergente.