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Intégrale impropre sur un intervalle ouvert

On considère une fonction localement intégrable sur un intervalle ouvert avec ou , et : ou .

Définition

Soit un point quelconque de l'intervalle . On dit que l'intégrale est convergente (ou existe) si chacune des intégrales et est convergente.

On pose alors :

.

Remarque
  1. Cette définition ne dépend pas du choix du point car, si est un autre point de , l'intégrale est une constante, et la relation de Chasles montre également que la valeur de l'intégrale est indépendante du choix de .

  2. On doit insister sur la nécessité de la convergence des deux intégrales et . Par exemple, pour une fonction impaire localement intégrable sur , on a pour tout réel . Or les deux intégrales ne sont pas nécessairement convergentes.

Exemple

Cas de l'intégrale qui est divergente

En effet, on a . Cependant, les intégrales et sont divergentes. Donc l'intégrale est divergente.

Exemple

En revanche, l'intégrale de la fonction impaire sur est convergente.

En effet ,

d'où .

Les deux intégrales et sont convergentes et valent respectivement et .

L'intégrale est donc convergente et vaut bien entendu .

Légende :
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