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Critère de convergence
Théorème : Condition nécessaire et suffisante de convergence

Soit une fonction positive ou nulle localement intégrable sur un intervalle , avec ou .

L'intégrale est convergente si et seulement s'il existe un réel tel que l'on ait :

.

Preuve

La fonction étant croissante, a une limite quand tend vers , d'après le théorème de la limite monotone, si et seulement si, elle est bornée au voisinage de .

Complément : Convention d'écriture

Dans le cas des fonctions positives et dans ce cas seulement, on écrit,

  • dans le cas où la fonction est majorée et donc l'intégrale convergente ,

  • dans le cas où la fonction n'est pas majorée et donc l'intégrale divergente

Il convient de ne pas abuser de ces notations qui sont purement symboliques.

Légende :
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S'exercer
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