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Second théorème de comparaison
Théorème

Soient et deux fonctions localement intégrables sur un intervalle , avec ou , et vérifiant et .

Si, quand tend vers , on a , les intégrales et sont de même nature.

Preuve

C'est un corollaire du théorème précédent

Détails :

Par hypothèse, on a :

avec

On peut donc trouver tel que les inégalité entraînent , d'où . On applique alors le théorème précédent.

Exemple

Étude de l'intégrale

On a pour tout et la fonction à intégrer est donc alors positive. Quand tend vers , on a . L'intégrale est donc convergente.

Exemple

Étude de l'intégrale

La fonction à intégrer est positive. Quand tend vers , on a : . L'intégrale est donc divergente.

Légende :
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S'évaluer
S'exercer
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