Second théorème de comparaison
Théorème :
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions localement intégrables sur un intervalle \([a,\omega[\), avec \(\omega\in\mathbb R\) ou \(\omega=+\infty\), et \(f\ge 0\) vérifiant et \(g\ge 0\).
Si, quand \(x\) tend vers \(\omega\), on a\( f(x)\sim g(x)\), les intégrales\( \displaystyle{\int_a^{\omega}f(t)dt}\) et \(\displaystyle{\int_a^{\omega}g(t)dt}\) sont de même nature.
Preuve :
C'est un corollaire du théorème précédent
Détails :
Par hypothèse, on a :
\(\displaystyle{f(x)=(1+\epsilon(x))g(x)}\) avec\( \displaystyle{\lim_{x\to\omega}\epsilon(x)=0}\)
On peut donc trouver \(\mathcal X\) tel que les inégalité \(\mathcal X< x<\omega\) entraînent \(\displaystyle{\vert\epsilon(x)\vert<\frac{1}{2}}\), d'où \(\displaystyle{\frac{1}{2}g(x)< f(x)<\frac{3}{2}g(x)}\) . On applique alors le théorème précédent.
Exemple :
Étude de l'intégrale \(\int_0^{+\infty} \frac{t-1}{t+1}e^{-t}dt\)
On a pour tout \(\displaystyle{x>1,\frac{x-1}{x+1}>0}\) et la fonction à intégrer est donc alors positive. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a \(\displaystyle{\frac{x-1}{x+1}\textrm e^{-x}\sim\textrm e^{-x}}\). L'intégrale est donc convergente.
Exemple :
Étude de l'intégrale \(\int_0^1 \frac{sin(t)}{t^2}dt\)
La fonction à intégrer est positive. Quand \(x\) tend vers \(0\), on a :\(\displaystyle{\frac{\sin x}{x^2}\sim\frac{1}{x}}\) . L'intégrale est donc divergente.