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Premier théorème de comparaison

Les théorèmes de comparaison jouent un rôle fondamental dans l'étude des intégrales impropres.

Théorème : Premier théorème de comparaison

Soient et deux fonctions localement intégrables sur un intervalle , avec ou , et vérifiant sur cet intervalle ;

  • si l'intégrale est convergente, l'intégrale est convergente,

  • si l'intégrale est divergente, l'intégrale est divergente.

Preuve

Elle repose sur l'utilisation des inégalités entre intégrales et les théorèmes de comparaison sur les limites.

Détails :

On pose et

Pour tout on a soit

Les fonctions et sont croissantes. On en déduit :

  • si la fonction  a une limite quand tend vers , elle est majorée, la fonction est alors majorée et a donc une limite.

  • si la fonction tend vers quand tend vers , elle n'est pas majorée, donc la fonction n'est pas majorée et tend vers quand tend vers .

Remarque

La nature d'une intégrale impropre ne dépendant que du comportement de la fonction quand tend vers , il suffit dans la pratique de supposer les inégalités vérifiées au voisinage de .

Exemple

Étude de l'intégrale

Pour tout vérifiant , la fonction garde un signe constant négatif. On a alors .

Or l'intégrale est convergente, donc l'intégrale est convergente.

Exemple

Étude de l'intégrale

On a, pour assez grand, d'où . L'intégrale est divergente donc l'intégrale est divergente.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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