Mathématiques
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Intégrales de Riemann

L'étude des intégrales de Riemann, intégrales des fonctions , sur ou est fondamentale car, jointe aux théorèmes de comparaison, elle constitue le principal outil dans l'étude des intégrales impropres des fonctions positives et donc, compte tenu de la convergence absolue, des intégrales impropres en général.

Théorème

Soit un réel :

  • l'intégrale est convergente si , divergente si ,

  • l'intégrale est convergente si , divergente si .

Preuve

Le principe est d'étudier la limite quand tend vers de la fonction en utilisant un calcul de primitive et en discutant suivant les valeurs de .

Détails :

a. Étude de l'intégrale

Pour , et , on a : ;

  • si , l'intégrale est convergente ;

  • si , la fonction tend vers quand tend vers ; l'intégrale est divergente.

Pour , l'intégrale tend vers quand tend vers ; l'intégrale est divergente.

b. Étude de l'intégrale

Pour , et , on a : ;

  • si , , l'intégrale est convergente ;

  • si , la fonction tend vers quand tend vers ; l'intégrale est divergente.

Applications

Les intégrales sont convergentes si et seulement si et

Preuve

On pose : et ,. La fonction est positive sur tout l'intervalle d'intégration.

Étude l'intégrale

On a, quand tend vers ,. L'intégrale est convergente si et seulement si .

Étude de l'intégrale

Quand tend vers , on a :

  • si , la fonction tend vers quand tend vers et est divergente ;

  • si , alors et est convergente si et seulement si ;

  • si , alors , et est convergente.

Les intégrales sont convergentes si et seulement si et .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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