Intégrales de Riemann
L'étude des intégrales de Riemann, intégrales des fonctions \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x^s}(s\in\mathbf R)}\), sur \(]0,1]\) ou \([1,+\infty[\)est fondamentale car, jointe aux théorèmes de comparaison, elle constitue le principal outil dans l'étude des intégrales impropres des fonctions positives et donc, compte tenu de la convergence absolue, des intégrales impropres en général.
Théorème :
Soit \(s\) un réel :
l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^1\frac{dt}{t^s}}\) est convergente si \(s < 1\), divergente si\( s \ge q 1\),
l'intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^s}}\) est convergente si \(s> 1\), divergente si \(s\leq1\).
Preuve :
Le principe est d'étudier la limite quand \(x\) tend vers \(0\) de la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\int_x^1\frac{dt}{t^s}}\) en utilisant un calcul de primitive et en discutant suivant les valeurs de \(s\).
Détails :
a. Étude de l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^1\frac{dt}{t^s}}\)
Pour \(s\neq1\) , et \(x > 0\), on a :\(\displaystyle{\int_x^1\frac{dt}{t^s}=\frac{1}{1-s}(1-x^{1-s})}\);
si \(\displaystyle{s <1,\lim_{x\to0}x^{1-s}=0}\), l'intégrale est convergente ;
si \(s > 1\), la fonction \(x\mapsto x^{1-s}\) tend vers \(+\infty\) quand\( x\) tend vers \(0\) ; l'intégrale est divergente.
Pour \(s = 1\), l'intégrale \(\displaystyle{\int_x^1\frac{dt}{t}=-\ln x}\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(0\) ; l'intégrale est divergente.
b. Étude de l'intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^s}}\)
Pour \(s\neq1\) , et \(x > 0\), on a :\(\displaystyle{\int_1^x\frac{dt}{t^s}=\frac{1}{1-s}(x^{1-s}-1)}\);
si \(\displaystyle{s > 1,\lim_{x\to+\infty}x^{1-s}=0}\), , l'intégrale est convergente ;
si \(s < 1\), la fonction \(x\mapsto x^{1-s}\) tend vers\( +\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\); l'intégrale est divergente.
Applications
Les intégrales \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}t^{r}\textrm e^{st}dt\quad(r\in\mathbf R,s\in\mathbf R)}\) sont convergentes si et seulement si \(s< 0\) et \(r>-1\)
Preuve :
On pose : \(\displaystyle{f(x)=x^r\textrm e^{sx}}\) et \(\displaystyle{\mathcal I(r,s)=\int_0^1f(t)dt,\mathcal J(r,s)=\int_1^{+\infty}f(t)dt}\) ,. La fonction \(f\) est positive sur tout l'intervalle d'intégration.
Étude l'intégrale \(\mathcal I(r,s)\)
On a, quand \(x\) tend vers \(0,f(x)\sim x^r\),. L'intégrale est convergente si et seulement si \(r> -1\).
Étude de l'intégrale \(\mathcal J(r,s)\)
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a :
si\( s> 0\), la fonction \(\displaystyle{x\mapsto x^r\textrm e^{sx}}\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et \(\mathcal J (r, s)\) est divergente ;
si \(s = 0\), alors \(f(x)=x^r\) et \(\mathcal J (r, s)\) est convergente si et seulement si \(r <- 1\) ;
si \(s< 0\), alors \(\displaystyle{\forall r,\lim_{x\to+\infty}x^{2+r}\textrm e^{sx}=0}\), et \(\mathcal J (r, s)\) est convergente.
Les intégrales \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}t^r\textrm e^{st}dt\quad(r\in\mathbb R,s\in\mathbb R)}\) sont convergentes si et seulement si \(s <0\) et \(r > -1\).