Intégrales des fonctions de signe quelconque

1) Étude de l'intégrale\( \displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{1+\cos t+\textrm e^{t}}dt}\)

La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\sin x}{1+\cos x+\textrm e^{x}}}\) est localement intégrable sur l'intervalle \([0,+\infty[\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \(\displaystyle{\left\vert\frac{\sin x}{1+\cos x+\textrm e^{x}}\right\vert\leq\frac{1}{1+\cos x+\textrm e^{x}}}\) et\(\displaystyle{\frac{1}{1+\cos x+\textrm e^{x}}\sim\textrm e^{-x}}\).

L'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{1+\cos t+\textrm e^{t}}dt}\) est donc absolument convergente, donc convergente.

2) Étude de l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}}\)

La fonction\( f\) : \(\displaystyle{t\mapsto\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}}\) est localement intégrable sur l'intervalle ouvert \(]0,+\infty[\). On étudiera donc séparément les intégrales\( \displaystyle{\int_0^{1}\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}dt}\) et\( \displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}dt}\).

a) Etude de \(\displaystyle{\int_0^{1}\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}dt}\)

Quand \(x\) tend vers \(0\) on a : \(\displaystyle{\vert f(x)\vert\leq\frac{\sqrt x}{\ln(1+x)}}\) et \(\displaystyle{\frac{\sqrt x}{\ln(1+x)}\sim\frac{1}{\sqrt x}}\) . L'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{1}\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}dt}\) est absolument convergente donc convergente.

b) Etude de \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}dt}\)

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \(\displaystyle{0< f(x)\leq\sqrt x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}\) et \(\displaystyle{\sqrt x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\sim\frac{1}{x^{3/2}}}\).

L'intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}dt}\) est donc absolument convergente.

Donc l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt t~\sin\left(\frac{1}{t^2}\right)}{\ln(1+t)}dt}\) est absolument convergente.