Intégrales des fonctions de signe quelconque

On commence par remarquer que quand \(x\) tend vers \(0\), on a : \(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}\) . La fonction se prolonge en une fonction continue en \(0\). Il n'y a pas de problème de convergence en \(0\).

L'intégrale\( \displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt} \) n'est pas absolument convergente

On montre que l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\vert\sin t\vert}{t}dt}\) ne vérifie pas le critère de Cauchy. On a, pour : \(n\ge q2\).

\(\displaystyle{\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\left\vert\frac{\sin t}{t}\right\vert dt\ge q\frac{1}{n\pi}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\left\vert\sin t\right\vert dt}=\frac{2}{n\pi}\)

D'où\( \displaystyle{\int_{(n-1)\pi}^{2n\pi}\left\vert\frac{\sin t}{t}\right\vert dt\ge q\frac{2}{\pi}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}\ge q\frac{2}{\pi}\frac{n}{2n}=\frac{1}{\pi}}\)

Donc en prenant\( \epsilon=\frac{1}{\pi}\), on a :

\(\displaystyle{\forall x,\exists n>\mathcal X,\int_{(n-1)\pi}^{2n\pi}\left\vert\frac{\sin t}{t}\right\vert dt\ge q\frac{1}{\pi}}\)

Le critère de Cauchy n'est pas vérifié et l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\left\vert\sin t\right\vert}{t}dt}\) est divergente.

L'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt}\) est convergente

Pour \(x > 1\), une intégration par parties donne :

On a : \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x}=0}\) et \(\displaystyle{\frac{\vert\cos t\vert}{t^2}\leq\frac{1}{t^2}}\) . Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), le premier terme a une limite et l'intégrale \(\displaystyle{\int_1^x\frac{\cos t}{t^2}}\) a également une limite. Donc la fonction\( \displaystyle{x\mapsto\int_1^x\frac{\sin t}{t}dt}\) a une limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt}\) est convergente.