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Étude d'une intégrale semi-convergente

On commence par remarquer que quand tend vers , on a : . La fonction se prolonge en une fonction continue en . Il n'y a pas de problème de convergence en .

L'intégrale n'est pas absolument convergente

On montre que l'intégrale ne vérifie pas le critère de Cauchy. On a, pour : .

D'où

Donc en prenant , on a :

Le critère de Cauchy n'est pas vérifié et l'intégrale est divergente.

L'intégrale est convergente

Pour , une intégration par parties donne :

On a : et . Quand tend vers , le premier terme a une limite et l'intégrale a également une limite. Donc la fonction a une limite quand tend vers et l'intégrale est convergente.

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