Lemme d'Abel

Signalons le lemme d'Abel (pour l'analogie avec le lemme correspondant pour les séries mais sans démonstration car il est hors programme ; la démonstration utilise la seconde formule de la moyenne, elle est aussi hors programme).

LemmeLemme d'Abel

Soient \(g\) et \(h\) deux fonctions continues sur un intervalle \([a,+\infty[\) vérifiant les conditions :

  1. il existe un réel\( \mathcal M\) tel que \(\displaystyle{\forall x\ge qa,\left\vert\int_{a}^{x}g(t)dt\right\vert\leq\mathcal M}\),

  2. la fonction h est décroissante et vérifie\( \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}h(x)=0}\)

Alors l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{+\infty}g(t)h(t)dt}\) est convergente.