Mathématiques
Précédent
Suivant
Négation d'une phrase avec quantificateurs

Comment prendre la négation d'une phrase formelle écrite avec des quantificateurs ?

Négation d'une phrase universelle

Comme on affirme qu'une propriété est universelle sur pour nier cette propriété, il suffit de trouver un contre-exemple.

Autrement dit :

Remarque : sur la phrase précédente

Nous avons mis des parenthèses car sinon nous avons deux interprétations possibles.

veut-il dire:

ou

? ce qui n'est pas la même chose.

L'usage est plutôt mais il vaut mieux expliciter comme nous l'avons fait.

Négation d'une phrase existentielle

On affirme ici que pour un au moins, est vrai, ou encore que l'ensemble des pour lesquels est vrai n'est pas vide.

Le contraire est évidemment que l'ensemble des pour lesquels est vrai est vide ou encore que est universelle :

Négation d'une phrase comportant plusieurs quantificateurs

Il suffit de se souvenir que ces phrases admettent un parenthésage implicite et d'appliquer progressivement les propriétés précédentes.

Rétablissons un parenthésage :

prenons la négation :

appliquons la première propriété :

appliquons la deuxième propriété :

appliquons la première propriété :

appliquons la deuxième propriété :

Récapitulation

Pour nier une phrase formelle commençant par plusieurs quantificateurs, conserve l'ordre d'écriture des variables, on change les en et les en puis on remplace la propriété par sa négation,

Attention

Lorsqu'on veut écrire la négation d'une propriété mathématique, on commence par écrire soigneusement de façon formelle, sans oublier de quantificateurs et de signes logiques, ("et", "ou", "non", "implique", etc) la propriété directe. Puis on en prend la négation avec les règles précédentes.

Exemple

Pour écrire qu'"un ensemble n'est pas majoré", on commence par écrire la propriété est majoré; (il existe un élément qui est un majorant de :

Ensuite on en prend la négation :

Si on veut, on retraduit en français: "pour chaque réel, on peut trouver dans un réel strictement plus grand."

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)