Introduction
Le langage courant (français) est facilement ambigu : la phrase "tous les guichets sont fermés certains jours" , qui est grammaticalement irréprochable, signifie-t-elle "certains jours tous les guichets sont fermés" , ou bien signifie-t-elle "chaque guichet est fermé certains jours" , ce qui est tout différent ?
Les mathématiques, qui ont la prétention de pouvoir affirmer avec certitude que telle propriété est vraie, que telle autre est fausse, ne peuvent s'accommoder d'un tel risque de flou, même s'il doit être artistique. C'est la raison de la nécessité d'un langage précis spécifique aux mathématiques.
L'objet de ce cours est de présenter les signes qui dans le langage mathématique expriment la quantification, c'est à dire la quantité d'objets (aucun, certains, tous) pour lesquels une propriété est vraie, signes que l'on appelle des quantificateurs.
Quantificateur universel \(\forall\)
Le quantificateur \(\forall\) se lit:
pour tout,
quelque soit,
pour chaque
pour n'importe quel
Quantificateur existentiel \(\exists\)
Le quantificateur \(\exists\) se lit : il existe
L'usage de ces quantificateurs est très précis et diffère de l'usage intuitif du langage ordinaire. Cette précision est nécessaire pour que les formules écrites avec des quantificateurs aient un sens précis et non ambigu. C'est pourquoi il importe de prendre conscience des règles d'utilisation de ces quantificateurs.