Sens de l'implication

On peut considérer que les phrases suivantes ont le même sens :

  • si la proposition \("P"\) est vraie, alors la proposition \("Q"\) est vraie,

  • si \("P"\) alors \("Q",\)

  • \(P\) implique \(Q,\)

  • \("P \Rightarrow Q".\)

Le sens de la phrase formelle \("P\Rightarrow Q",\) est celui-ci : ou bien \("P"\) est faux, ou bien \("P"\) et \("Q"\) sont vrais en même temps.

Attention

La proposition Si \("P"\) alors \("Q"\) ne dit pas que l'hypothèse \("P"\) est vraie ; elle dit seulement que si l'hypothèse \("P"\) est vraie, alors la conclusion \("Q"\) l'est aussi. Ceci s'exprime donc à l'aide des symboles de conjonction et de disjonction par l'une ou l'autre des phrases suivantes:

  • \("~(non~ P)~ ou~ Q"\)

  • \("non~ (P~ et~ (non~ Q))"\)

Les formules suivantes sont donc équivalentes :

  • \("P\Rightarrow Q"\)

  • \("(non~ P)~ ou~ Q"\)

  • \("non~ (P~ et~ (non~ Q))"\)