Contraposée d'une implication

On a vu que les phrases suivantes sont équivalentes :

\(P\Rightarrow Q\)

\((non ~P)~ ou~ Q\)

L'implication \("P\Rightarrow Q"\) est donc aussi équivalente à

\((non~ (non~ Q))~ ou~ (non~ P)\)

c'est-à-dire à

\((non~ Q)\Rightarrow (non~ P)\)

La proposition \("(non~ Q)\Rightarrow (non~ P)"\) s'appelle la contraposée[1] de l'application \("P\Rightarrow Q"\) ; elle lui est équivalente.

On a donc toujours \("P\Rightarrow Q"\) équivaut à \("(non ~Q)\Rightarrow (non ~P)".\)

Attention

L'implication contraposée de\( "P\Rightarrow Q"\) n'a pas la même signification que l'implication réciproque de \("P\Rightarrow Q"\) qui est \("Q\Rightarrow P".\)

Exempled'implication contraposée

L'implication : \("ab = 0 \Rightarrow(a = 0~ ou~ b = 0)"\)

sa contraposée : \("(a\neq 0~ et~ b\neq 0)\Rightarrow ab\neq 0"\) ;

l'implication \("x = 1\Rightarrow x^ 2 = 1"\) est vraie \((x\) supposé réel), ainsi bien sûr que l'implication contraposée \("x^ 2\neq 1\Rightarrow x\neq 1",\)

tandis que l'implication réciproque \("x^ 2 = 1\Rightarrow x = 1"\) est fausse.