Exercice n°1

Partie

Question

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles et \(f\) une application de \(E\) dans \(F.\) Soient \(P\) et \(Q\) deux parties de \(E.\) Montrer que :

\(f(P \backslash Q)\supset f(P) \backslash f(Q)\) avec égalité si ƒ est injective.

Solution détaillée

\(f : E\rightarrow F\)

Soient \(P\) et \(Q\) deux sous-ensembles de \(E.\)

  1. Montrons que \(f (P) \backslash f (Q)\subset f (P \backslash Q)\)

    Soit \(y\in f (P) \backslash f (Q).\) Alors \(y\) possède un antécédent \(x\) dans \(P.\)

    \(y = f (x).\)

    \(y\) n'est pas dans \(f (Q)\) donc \(y\) n'a pas d'antécédent dans \(Q.\) On en conclut que \(x\) n'est pas élément de \(Q.\)

    \(x\) est donc dans \(P \backslash Q.\)

  2. Montrons que \(f (P \backslash Q)\subset f (P) \backslash f (Q)\) si \(f\) est injective.

    Soit \(y\in f (P \backslash Q)\) ; \(y\) a un antécédent \(x\) dans \(P \backslash Q.\) Donc \(y\in f (P).\)

    Peut-on avoir \(y\in f (Q)\) ?

    Si \(y\) est dans\( f (Q),\) \(y\) a un antécédent \(x'\) dans \(Q.\)

    \(x\) et \(x'\) sont distincts car \(x\in P \backslash Q ,\) \(x'\in Q\) et \(f (x) = f (x') = y.\)

    C'est ici qu'on utilise l'injectivité de \(f.\)

    Si \(f\) est injective, \(x = x'\) ce qui est impossible car \(x\) et \(x'\) appartiennent à des ensembles disjoints.

    Par conséquent \(y\) ne peut être l'image d'un élément de \(f (Q),\) \(y\in f (P) \backslash f (Q).\)