Exercice n°3
Partie
Soient \(f : X\rightarrow Y\) et \(g : Y\rightarrow Z\) des applications. Soit \(h = g\circ f.\) Montrer que :
Question
Si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(h\) est injective.
Solution détaillée
Pour montrer que \(h\) est injective, on prend deux éléments \(x\) et \(x'\) de \(X,\) qui ont la même image par \(h.\)
\(h (x) = h (y)\)
Donc \(g [f (x)] = g [f (x')]\)
Comme \(g\) est injective, on déduit \(f (x) = f (x').\) Comme \(f\) est injective, on déduit \(x = x'.\)
On a donc montré que deux éléments distincts qui ont la même image par \(h\) sont égaux.
Conclusion : \(h\) est injective.
Question
Si \(f\) et \(g\) sont surjectives, alors \(h\) est surjective.
Solution détaillée
On veut montrer que \(h\) est surjective. On prend un élément \(z\) de \(Z\) et on veut lui trouver un antécédent par \(h.\)
\(g\) est surjective. \(z\) possède un antécédent \(y\in Y\) par \(g.\)
\(z = g (y).\)
\(f\) est surjective. \(y\) possède un antécédent \(x\in X\) par \(f.\)
\(y = f (x).\)
\(z = g (y) = g [f (x)] = h (x)\)
Donc \(x\) est un antécédent de \(z\) par \(h.\)
Conclusion : \(h\) est surjective.
Question
Si \(h\) est injective, \(f\) est injective, mais \(g\) n'est pas nécessairement injective.
Solution détaillée
On veut montrer que \(h\) injective implique que \(f\) est injective.
Pour montrer que \(f\) est injective, nous prenons deux éléments \(x\) et \(x'\) qui ont la même image par \(f.\)
\(f (x) = f (x').\) Si nous composons, nous obtenons \(g [f (x)] = g [f (x')]\) et donc \(h (x) = h (x').\)
Comme \(h\) est injective, on déduit \(x = x'\) et donc que \(f\) est injective.
Question
Si \(h\) est surjective, \(g\) est surjective, mais \(f\) n'est pas nécessairement surjective.
Solution détaillée
On veut montrer que \(h\) surjective implique \(g\) surjective.
Soit \(z\) un élément de \(Z.\) Il a un antécédent \(x\) par \(h\) et donc \(z\) a un antécédent \(f (x)\) par l'application \(g.\)