Démonstrations

On a montré que pour tout sous-ensemble \(X\) de \(E\) on a :

\(X\subset f^{- 1} [f (X)].\)

On veut montrer l'équivalence :

1. Pour toute partie \(X\subset E~~f^{- 1} [f (X)]\subset X.\)

2. \(f\) est injective.

Montrons d'abord \(1.\Rightarrow 2..\)

On part de ce qu'on veut montrer : que \(f\) est injective. On se donne donc deux éléments \(x\) et \(x'\) tels que \(f (x) = f (x').\)

Posons \(X = \{x\}.\) D'après l'hypothèse,\( f^{-1} [f (X)]\subset X.\)

Si \(x\neq x',\) \(\{x , x'\}\subset f^{-1} [f (X)]\subset \{x\}\) nous obtenons une contradiction. Donc \(x = x'.\)

Si deux éléments ont la même image par \(f,\) ils sont égaux. \(f\) est injective.

Montrons \(2.\Rightarrow 1..\)

Soit \(X\subset E\) et \(x\in f^{-1} [f (X)].\) Cela signifie \(f (x)\in f (X).\) Donc \(f (x)\) a un antécédent \(x'\) dans \(X.\)

\(f (x) = f (x').\) Mais \(f\) est injective donc \(x = x'\) et \(x\) est élément de \(X.\)

Donc \(f^{-1} [f (X)]\subset X.\) Ce qu'il fallait démontrer.