Démonstrations

Pour faire cet exercice, il importe de bien se souvenir de ce qu'est une image et une image réciproque.

Que veut-on montrer ?

\(A\subset f^{-1} [f (A)]\)

On prend donc un élément \(x\) de \(A\) et son image \(f (x),\) qui est dans \(f (A).\) On veut montrer que \(x\) est dans \(f^{-1} [f (A)].\) D'après la définition de l'image réciproque d'un ensemble, cela signifie que \(f (x)\) est dans \(f (A)\) ce qui est vrai.

Soit \(x\in A,~ f (x)\in f (A)\) donc \(x\in f^{-1} [f (A)].\)

Donc : \(A\subset f^{-1} [(f (A)]\)

Soit \(B\subset F,\) on veut montrer \(f [f^{-1} (B)]\subset B.\)

Soit \(y\) un élément de \(f [f^{-1} (B)].\) Cela veut dire que \(y\) a un antécédent \(x\) dans \(f^{-1} (B).\)

\(y = f (x).\)

Dire que \(x\) est dans \(f^{-1} (B)\) signifie que \(f (x)\) est dans \(B.\)

On a donc montré :

\(f [f^{-1} (B)]\subset B\)

Comme d'après le \(1.\) \(A\subset f^{-1} [f (A)],\) on a donc :

\(f (A)\subset f \{f^{-1}[f (A)]\}.\)