Exemples et cas particuliers
Soient les polynômes \(X^3+1\) et \(X+1\). On a l'égalité bien connue \(X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)\).
On peut donc dire que le polynôme \(X^3+1\) est un multiple du polynôme \(X+1\) ou que le polynôme \(X+1\) divise le polynôme \(X^3+1\)
Tout polynôme divise le polynôme nul (\(\forall P\in K[X], 0=0P\)) ; par contre le seul multiple du polynôme nul est le polynôme nul.
On en déduit immédiatement que l'ensemble des multiples d'un polynôme contient toujours le polynôme nul (et donc, entre autres, n'est jamais vide).
Soit \(P\) un polynôme non nul. Alors, quel que soit le scalaire non nul \(\lambda\), le polynôme constant \(\lambda\) et le polynôme \(\lambda P\) sont des diviseurs de \(P\).