Propriétés de l'ensemble des polynômes multiples d'un polynôme donné

Cette page est consacré à l'étude de l'ensemble des multiples d'un polynôme donné.

Règle : Notation

Si est un polynôme appartenant à , on note l'ensemble des polynômes multiples de .

Autrement dit,

On a déjà remarqué que appartient à .

La première propriété étudiée donne un lien entre la notion de divisibilité et l'ensemble des polynômes multiples d'un polynôme.

Théorème : Divisibilité et inclusion des ensembles de multiples

Soient et deux polynômes appartenant à . Alors divise si et seulement si l'inclusion est vraie.

Remarque

Faire bien attention au sens de l'inclusion.

Preuve

La démonstration se décompose en deux parties puisque l'on doit prouver une équivalence entre deux propriétés.

  1. On suppose que divise : alors il existe un polynôme tel que .

    Cela prouve que appartient à ; cela entraîne immédiatement que tout élément de , qui s'écrit , peut être écrit sous la forme et donc appartient à . Cela prouve l'inclusion .

  2. Réciproquement, on suppose vraie l'inclusion .

    Comme appartient à , il appartient à et donc il existe appartenant à tel que . Cela prouve que le polynôme divise le polynôme et achève la démonstration.

Corollaire

La deuxième propriété étudiée concerne la structure.

L'ensemble est muni de deux opérations : l'addition et le produit. Le théorème qui suit étudie leur comportement sur l'ensemble des multiples d'un polynôme.

Théorème : Propriétés de l'ensemble des multiples d'un polynôme donné par rapport à l'addition et au produit de polynômes.

Soit un polynôme de .

  • La différence de deux polynômes multiples de est un polynôme multiple de .

  • Le produit d'un polynôme multiple de par un polynôme quelconque de est un multiple de .

Remarque : immédiates

Ceci a un sens car on a déjà vu que l'ensemble des multiples de n'est pas vide, il contient au moins le polynôme nul.

La deuxième propriété est plus forte que la stabilité pour le produit.

La première propriété est équivalente à l'ensemble des deux propriétés suivantes : la somme de deux multiples de est un multiple de ; le symétrique d'un multiple de est un multiple de .

Preuve

Elle résulte immédiatement de la définition.

En effet, si et sont des multiples de , il existe des polynômes et tels que et . Alors, et est un multiple de .

Si est un multiple de , il existe un polynôme tels que . Alors si est un polynôme quelconque de , on a et le polynôme est un multiple de .

Légende :
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