Propriétés de la relation binaire de divisibilité
Étude de la réflexivité

Soit un polynôme non nul. On a . Donc divise (ou est un multiple de ). La relation de divisibilité est donc réflexive.

On en déduit immédiatement que l'ensemble des multiples de P contient P.

Étude de la transitivité

Soient et trois polynômes non nuls. Si divise et si divise , alors divise . La relation de divisibilité est donc transitive.

Preuve

Elle résulte immédiatement de la définition. En effet, si divise , il existe un polynôme tel . De même, si divise , il existe un polynôme tel . Alors et donc divise .

Étude de la symétrie

La relation de divisibilité n'est ni symétrique, ni antisymétrique.

Mais elle vérifie la propriété suivante : soient et deux polynômes non nuls. Si divise et si divise , alors il existe un scalaire non nul , tel que .

Preuve

Elle n'est pas symétrique puisqu'il existe des polynômes et tels que divise et ne divise pas :

en effet, le polynôme divise le polynôme , mais ne divise pas .

Elle n'est pas antisymétrique puisqu'il existe des polynômes A et B différents tels que divise et divise .

En effet, soit un polynôme non nul, le polynôme divise le polynôme ( ), le polynôme divise le polynôme ( ), mais les polynômes et sont distincts.

Plus généralement, si et sont des polynômes non nuls tels que divise et divise , il existe deux polynômes et tels que et A=BQ_0.

Il en résulte l'égalité : .

Tous les polynômes intervenant étant non nuls, on considère les degrés de ces polynômes. Il en résulte que les polynômes et sont des polynômes constants (on a et donc de degré nul).

Donc et sont de même degré et il existe , non nul, tel que .

Remarque

La relation de divisibilité n'est donc pas une relation d'ordre sur .

Légende :
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