| Propriétés de la relation binaire de divisibilité |
Soit
un polynôme non nul. On a
. Donc
divise
(ou
est un multiple de
). La relation de divisibilité est donc réflexive.
On en déduit immédiatement que l'ensemble des multiples de P contient P.
Soient
et
trois polynômes non nuls. Si
divise
et si
divise
, alors
divise
. La relation de divisibilité est donc transitive.
Elle résulte immédiatement de la définition. En effet, si
divise
, il existe un polynôme
tel
. De même, si
divise
, il existe un polynôme
tel
. Alors
et donc
divise
.
La relation de divisibilité n'est ni symétrique, ni antisymétrique.
Mais elle vérifie la propriété suivante : soient
et
deux polynômes non nuls. Si
divise
et si
divise
, alors il existe un scalaire non nul
, tel que
.
Elle n'est pas symétrique puisqu'il existe des polynômes
et
tels que
divise
et
ne divise pas
:
en effet, le polynôme
divise le polynôme
, mais
ne divise pas
.
Elle n'est pas antisymétrique puisqu'il existe des polynômes A et B différents tels que
divise
et
divise
.
En effet, soit
un polynôme non nul, le polynôme
divise le polynôme
(
), le polynôme
divise le polynôme
(
), mais les polynômes
et
sont distincts.
Plus généralement, si
et
sont des polynômes non nuls tels que
divise
et
divise
, il existe deux polynômes
et
tels que
et A=BQ_0.
Il en résulte l'égalité :
.
Tous les polynômes intervenant étant non nuls, on considère les degrés de ces polynômes. Il en résulte que les polynômes
et
sont des polynômes constants (on a
et donc
de degré nul).
Donc
et
sont de même degré et il existe
, non nul, tel que
.
La relation de divisibilité n'est donc pas une relation d'ordre sur
.
