Définition et existence du PGCD de deux polynômes

Nous allons traiter complétement le cas de deux polynômes et nous indiquerons pour chaque propriété si elle se conserve ou pas pour un nombre fini quelconque de polynômes et en quels termes.

Théorème : Définition du Plus Grand Commun Diviseur de deux polynômes

Soient et deux polynômes appartenant à K[X]. On suppose que l'un au moins est non nul. Il existe un polynôme tel que :

  • Le polynôme divise les polynômes et .

  • Tout polynôme divisant et divise .

Il existe un seul polynôme unitaire satisfaisant aux 2 conditions ci-dessus.

Tout polynôme qui vérifie ces 2 conditions est un "plus grand commun diviseur" ; la notation désigne, parmi les plus grands communs diviseurs, celui qui est unitaire.

Remarques:

  • La première condition signifie que est un diviseur commun aux polynômes et .

  • La deuxième condition signifie que est un "plus grand".

Preuve

Le plan de la démonstration de l'existence du PGCD est le suivant :

  1. On considère l'ensemble noté défini par :

  2. On démontre que cet ensemble est un idéal de K[X]

  3. On applique le théorème suivant qui caractérise les idéaux de K[X] :

    Pour tout idéal de K[X], il existe un polynôme tel que soit égal à l'ensemble des multiples de .

    Ce qui peut s'écrire :

    On dit que est engendré par .

    Si n'est pas réduit au polynôme nul, est non nul. Si, de plus, on impose à d'être unitaire, il est unique.

  4. On vérifie qu'un générateur de l'idéal satisfait aux 2 propriétés de l'énoncé du théorème

    Il est important de noter qu'il résulte de la démonstration de cette caractérisation qu'un tel générateur est un polynôme de admettant pour degré le plus petit des degrés des éléments non nuls de . On sait aussi que deux générateurs d'un idéal de diffèrent d'une constante multiplicative (ce qui signifie ici que si est un autre polynôme engendrant , il existe tel que ).

  5. On en déduit l'existence d'un unique générateur unitaire qui est appelé le PGCD des polynômes et ; on le note .

    Ici, les détails de la démonstration.

Remarque

Il est clair que, si au moins un des deux polynômes ou est non nul, et si est une constante non nulle, on a l'égalité : .

Légende :
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