Définition et existence du PGCD de plusieurs polynômes
La construction est exactement la même dans le cas de \(n\) polynômes, où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2.
Le résultat est donné par le théorème suivant :
Théorème : Définition du plus Grand Commun Diviseur de plusieurs polynômes
Soient \(P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}\) des polynômes non tous nuls, appartenant à \(K[X]\). Il existe un polynôme \(D\) tel que :
Le polynôme \(D\) divise tous les polynômes \(P_{i}\).
Tout polynôme divisant chacun des \(P_{i}\) divise \(D\).
Il existe un seul polynôme unitaire satisfaisant aux conditions 1. et 2..
Tout polynôme qui vérifie 1. et 2. est un "plus grand commun diviseur" ; la notation \(\textrm{PGCD}~(P_{1}, P_{2}, ..., P_{n})\) désigne celui des plus grands communs diviseurs qui est unitaire.
La construction prouve que \(\textrm{PGCD}~(P_{1}, P_{2}, ..., P_{n})\) est le générateur unitaire de l'idéal \(P_{1} \textrm{K[X]} + ... + P_{n} \textrm{K[X]}\).