Théorème de Bézout, Théorème de Gauss

Le théorème de Bézout est une conséquence immédiate de la construction du PGCD de polynômes. La caractérisation des polynômes premiers entre eux qui s'en déduit est particulièrement importante.

Théorème : Théorème de Bézout

Soient et deux polynômes non tous les deux nuls. Soit le PGCD de et . Alors il existe deux polynômes et de tels que :

Preuve

Le théorème de Bézout résulte immédiatement du fait que le PGCD de et engendre l'idéal , donc en particulier appartient à cet idéal.

Remarque

Les polynômes et ne sont pas uniques puisqu'un simple calcul prouve que si et vérifient l'égalité : , les polynômes et , où est un polynôme quelconque, vérifient aussi l'égalité .

De plus, il faut remarquer que, dans le cas général, cette relation ne caractérise pas le PGCD car il en existe une de même type pour tout multiple de .

Par contre, dans le cas des polynômes premiers entre eux, on a aussi la réciproque.

Théorème : Caractérisation des polynômes premiers entre eux à l'aide d'une identité de Bézout.

Soient et deux polynômes non tous les deux nuls. Ils sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes et de tels que :

Preuve

La condition est nécessaire d'après le théorème de Bézout. Montrons qu'elle est suffisante.

On suppose donc qu'il existe deux polynômes et de tels que : . Si est un diviseur commun à et , il divise évidemment et donc aussi le polynôme constant 1. Donc c'est un polynôme constant et les polynômes et sont premiers entre eux.

On a des résultats analogues pour polynômes, avec entier, supérieur ou égal à 2.

Les trois propriétés suivantes sont des conséquences immédiates du théorème de Bézout et sont très utiles.

Théorème : Théorème de Gauss

Si un polynôme divise le produit de deux polynômes et si, de plus, il est premier avec l'un d'eux, il divise l'autre.

Autrement dit, si , et sont des polynômes tels que :

  • divise le produit

  • est premier avec

alors divise .

Preuve

Elle découle du théorème de Bézout. En effet puisque et sont premiers entre eux, il existe deux polynômes et de tels que : . Alors, en multipliant cette égalité par , on a l'égalité : . Or, divisant , il existe un polynôme tel que . Donc on a l'égalité qui prouve que divise .

Proposition : Diviseurs premiers entre eux.

Si un polynôme est divisible par deux polynômes premiers entre eux, il est divisible par leur produit

Preuve

Soient donc , des éléments de vérifiant les hypothèses suivantes :

- et sont premiers entre eux

- divise

- divise

La propriété découle de la propriété de Bézout appliquée aux polynômes A et B. En effet il existe deux polynômes et de tels que , d'où . Or il existe deux polynômes et tels et .

Donc on a d'où le résultat.

La troisième propriété concerne les quotients de deux polynômes par leur PGCD.

Proposition : Quotients de deux polynômes par leur PGCD.

Soient et deux polynômes. On suppose que l'un au moins n'est pas nul.

Soit leur PGCD et et les quotients respectifs de et par .

Alors les polynômes et sont premiers entre eux.

Les hypothèses permettent d'écrire : , et . On en déduit : , soit encore .

D'après la condition nécessaire et suffisante précédente, cela prouve que les polynômes et sont premiers entre eux.

En fait cette propriété admet une réciproque

Proposition

Soient et deux polynômes. On suppose que l'un au moins n'est pas nul.

Soit un polynôme unitaire, diviseur commun à et , et les quotients respectifs de et par . On suppose que les polynômes et sont premiers entre eux.

Alors est le PGCD de et .

Preuve

D'une part, comme est un diviseur commun à et , c'est un diviseur du PGCD de et .

D'autre part, les polynômes et étant premiers entre eux, il existe deux polynômes et tels que . Alors d'où . Donc est un multiple du PGCD de et . Or le polynôme est unitaire.

Donc c'est le PGCD de et .

Légende :
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