Théorème de Bézout, Théorème de Gauss
Le théorème de Bézout est une conséquence immédiate de la construction du PGCD de polynômes. La caractérisation des polynômes premiers entre eux qui s'en déduit est particulièrement importante.
Théorème : Théorème de Bézout
Soient \(P_1\) et \(P_2\) deux polynômes non tous les deux nuls. Soit \(d\) le PGCD de \(P_1\) et \(P_2\). Alors il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) de \(K[X]\) tels que :
\(d=P_1U+P_2V\)
Preuve :
Le théorème de Bézout résulte immédiatement du fait que le PGCD de \(P_1\) et \(P_2\) engendre l'idéal \(P_1K[X]+P_2K[X]\), donc en particulier appartient à cet idéal.
Remarque :
Les polynômes \(U\) et \(V\) ne sont pas uniques puisqu'un simple calcul prouve que si \(U\) et \(V\) vérifient l'égalité : \(d=P_1U+P_2V\), les polynômes \(U'=U+P_2Q\) et \(V'=V-P_1Q\), où \(Q\) est un polynôme quelconque, vérifient aussi l'égalité \(d=P_1U'+P_2V'\).
De plus, il faut remarquer que, dans le cas général, cette relation ne caractérise pas le PGCD car il en existe une de même type pour tout multiple de \(d\).
Par contre, dans le cas des polynômes premiers entre eux, on a aussi la réciproque.
Théorème : Caractérisation des polynômes premiers entre eux à l'aide d'une identité de Bézout.
Soient \(P_1\) et \(P_2\) deux polynômes non tous les deux nuls. Ils sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) de \(K[X]\) tels que :
\(1=P_1U+P_2V\)
Preuve :
La condition est nécessaire d'après le théorème de Bézout. Montrons qu'elle est suffisante.
On suppose donc qu'il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) de \(K[X]\) tels que : \(1=P_1U+P_2V\). Si \(d\) est un diviseur commun à \(P_1\) et \(P_2\) , il divise évidemment \(P_1U+P_2V\) et donc aussi le polynôme constant 1. Donc c'est un polynôme constant et les polynômes \(P_1\) et \(P_2\) sont premiers entre eux.
On a des résultats analogues pour \(n\) polynômes, avec \(n\) entier, supérieur ou égal à 2.
Les trois propriétés suivantes sont des conséquences immédiates du théorème de Bézout et sont très utiles.
Théorème : Théorème de Gauss
Si un polynôme divise le produit de deux polynômes et si, de plus, il est premier avec l'un d'eux, il divise l'autre.
Autrement dit, si \(P\), \(Q\) et \(R\) sont des polynômes tels que :
\(P\) divise le produit \(QR\)
\(P\) est premier avec \(Q\)
alors \(P\) divise \(R\).
Preuve :
Elle découle du théorème de Bézout. En effet puisque \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux, il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) de \(K[X]\) tels que : \(1=PU+QV\). Alors, en multipliant cette égalité par \(R\), on a l'égalité : \(R=PRU+QRV\). Or, \(P\) divisant \(QR\), il existe un polynôme \(S\) tel que \(QR=PS\). Donc on a l'égalité \(R=P(RU+SV)\) qui prouve que \(P\) divise \(R\).
Proposition : Diviseurs premiers entre eux.
Si un polynôme est divisible par deux polynômes premiers entre eux, il est divisible par leur produit
Preuve :
Soient donc \(A, B, C\), des éléments de \(K[X]\) vérifiant les hypothèses suivantes :
- \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux
- \(A\) divise \(C\)
- \(B\) divise \(C\)
La propriété découle de la propriété de Bézout appliquée aux polynômes A et B. En effet il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) de \(K[X]\) tels que \(1=AU+BV\), d'où \(C=AUC+BVC\). Or il existe deux polynômes \(C_1\) et \(C_2\) tels \(C=C_1A\) et \(C=C_2B\).
Donc on a \(C=AUC_2B+BVC_1A=AB(UC_2+VC_1)\) d'où le résultat.
La troisième propriété concerne les quotients de deux polynômes par leur PGCD.
Proposition : Quotients de deux polynômes par leur PGCD.
Soient \(P_1\) et \(P_2\) deux polynômes. On suppose que l'un au moins n'est pas nul.
Soit \(D\) leur PGCD et \(Q_1\) et \(Q_2\) les quotients respectifs de \(P_1\) et \(P_2\) par \(D\).
Alors les polynômes \(Q_1\) et \(Q_2\) sont premiers entre eux.
Les hypothèses permettent d'écrire : \(P_1=DQ_1\), \(P_2=DQ_2\)et \(D=P_1U+P_2V\). On en déduit : \(D=(DQ_1)U+(DQ_2)V\), soit encore \(1=Q_1U+Q_2V\).
D'après la condition nécessaire et suffisante précédente, cela prouve que les polynômes \(Q_1\) et \(Q_2\) sont premiers entre eux.
En fait cette propriété admet une réciproque
Proposition :
Soient \(P_1\) et \(P_2\) deux polynômes. On suppose que l'un au moins n'est pas nul.
Soit \(D\) un polynôme unitaire, diviseur commun à \(P_1\) et \(P_2\) , \(Q_1\) et \(Q_2\) les quotients respectifs de \(P_1\) et \(P_2\) par \(D\). On suppose que les polynômes \(Q_1\) et \(Q_2\) sont premiers entre eux.
Alors \(D\) est le PGCD de \(P_1\) et \(P_2\).
Preuve :
D'une part, comme \(D\) est un diviseur commun à \(P_1\) et \(P_2\) , c'est un diviseur du PGCD de \(P_1\) et \(P_2\).
D'autre part, les polynômes \(Q_1\) et \(Q_2\)étant premiers entre eux, il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(Q_1U+Q_2V=1\). Alors \(UQ_1D+VQ_2D=D\) d'où \(UP_1+VP_2=D\). Donc \(D\) est un multiple du PGCD de \(P_1\) et \(P_2\) . Or le polynôme \(D\) est unitaire.
Donc c'est le PGCD de \(P_1\) et \(P_2\) .