Définitions

Nous allons commencer par introduire la notion d'algèbre dont la définition est nécessaire pour la suite.

Définition : d'un algèbre

Soit un corps. On appelle algèbre sur un corps ou -algèbre un ensemble , possédant les propriétés suivantes :

  • est un anneau,

  • est un - espace vectoriel,

  • Ces deux structures sont compatibles, c'est-à-dire que l'on a la propriété suivante :

Rappel : Définition d'un anneau

On appelle anneau la donnée d'un ensemble et de deux lois de compositions internes, que l'on note ici additivement et multiplicativement, sur cet ensemble satisfaisant aux axiomes suivants :

La loi + ou addition est commutative, associative. Elle admet un élément neutre et tout élément admet un symétrique.

Ces propriétés peuvent être résumées en disant que est un groupe commutatif.

La loi . ou multiplication (en général on utilise la notation xy pour x.y) est associative et possède un élément neutre. Elle est distributive par rapport à l'addition c'est-à-dire que :

et .

Notons que la multiplication peut être commutative ou non. Si elle l'est, on dit que l'on a un anneau commutatif.

Un corps est un anneau tel que tout élément non nul admette un inverse pour la multiplication.

Par exemple, le corps des nombres réels, muni des opérations usuelles, est un anneau commutatif, alors que l'ensemble des matrices carrées d'ordre s, muni des opérations usuelles, est un anneau non commutatif.

Exemple : d'algèbre
  1. On a étudié deux structures sur l'ensemble des polynômes à coefficients dans un corps , une structure d'anneau et une structure d'espace vectoriel. La condition de compatibilité est immédiate à vérifier. Donc est une algèbre sur .

  2. Soit un espace vectoriel sur un corps .

    Muni des lois usuelles, , ensemble des endomorphimes d'un espace vectoriel , est une algèbre.

  3. L'ensemble des matrices carrées d'ordre s, muni des opérations usuelles, est une algèbre sur .

  • Contexte :

    Pour l'étude de la notion de fonction polynôme, on se place dans le contexte suivant : on considère un corps et une -algèbre .

    On notera l'élément neutre de la multiplication de .

Définition : d'une fonction polynôme, associée à un polynôme, dans L

Soit un polynôme à coefficients dans .

On appelle fonction polynôme associée à dans et l'on note l'application de dans , définie par :

.

L'expression a bien un sens et est bien un élément de .

En effet, étant un élément de , en est aussi un (le produit est une loi interne dans l'anneau ), ainsi que qui est le produit d'un scalaire de par un élément de (structure d'espace vectoriel de ).

Enfin est la somme de tels éléments, donc c'est bien un élément de (la somme est une loi de composition interne dans ).

On peut remarquer sur cette explicitation, la nécessité d'avoir les deux structures sur pour pouvoir définir la notion de fonction polynôme sur .

Remarque

Ne pas oublier l'élément dans le terme .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)