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Liens avec la structure

L'ensemble satisfaisant aux hypothèses du paragraphe précédent (il est donc muni de deux structures compatibles, celle d'anneau et celle d'espace vectoriel sur ), on désigne par l'application de dans (algèbre des applications de L dans L pour les opérations usuelles) définie par .

Théorème

Propriétés de l'application .

Les propriétés suivantes sont vérifiées :

Pour tout élément de

  • i.

  • ii.

  • iii. Si on note " 1 " le polynôme constant égal à , est l'application de dans qui à tout élément de associe l'élément neutre du produit de , à savoir .

  • iv. Pour tout élément de et tout de , .

Les propriétés i., ii. et iii. caractérisent les homomorphismes d'anneau.

Les propriétés i. et iv. caractérisent les applications linéaires.

On peut dire que est un homomorphisme d'algèbre.

La justification de ces propriétés est immédiate car les lois de compositions sur ont été définies précisément pour que ces formules soient vraies.

Légende :
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