Caractérisation des valeurs propres

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie égale à .

est une valeur propre de si et seulement si :

et .

Or la propriété équivaut à la propriété

Donc est une valeur propre de si et seulement si :

et .

Ce qui équivaut à : et .

L'intérêt de ce résultat est que n'apparaît plus dans la formule et que l'on a réussi à disjoindre et .

Ce résultat peut encore être amélioré en utilisant la caractérisation d'un endomorphisme non injectif dans un espace de type fini, de dimension .

En effet on a les équivalences suivantes :

rang det

D'où la propriété :

Propriété : Caractérisation d'une valeur propre

Un élément du corps de base de l'espace vectoriel est une valeur propre de si et seulement si det .

Cette propriété donne donc un procédé pratique pour déterminer les valeurs propres d'un endomorphisme.

Exemple

Soit l'endomorphisme de défini par , où désigne la base canonique de .

Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments de , tels que det . Pour cela il est naturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det qui est égal à det .

On a et par conséquent det .

Donc det .

Les réels et sont donc les valeurs propres de .

Exemple

Soit l'endomorphisme de défini par , où désigne la base canonique de .

De même que précédemment, on écrit la matrice associée à dans la base canonique et on calcule det .

On a

et par conséquent

det .

Or il n'y a pas de réels tels que soit nul (le discriminant du trinôme est strictement négatif). Donc l'endomorphisme n'admet pas de valeurs propres.

Exemple

Soit l'endomorphisme de défini par désigne la base canonique de .

De même que précédemment, on écrit la matrice associée à dans la base canonique et on calcule det .

On a et par conséquent

det

La seule valeur réelle de annulant det est .

Donc a une seule valeur propre qui est .

Légende :
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