Polynôme caractéristique

On a donc vu apparaître naturellement l'expression det . Elle va être étudiée plus précisément en introduisant le vocabulaire des polynômes.

Soit un élément du corps de base . Pour calculer le déterminant de l'endomorphisme de , il est nécessaire (c'est illustré par les exemples précédents) d'introduire la matrice associée à par rapport à une base de . Soit donc une base de et   la matrice associée à par rapport à cette base. Alors la matrice associée à est et par conséquent

det det . Si , on a :

det det

L'expression explicite de ce déterminant prouve que c'est une expression polynômiale en , de degré , dont le coefficient du terme de plus haut degré est égal à .

Si est la matrice associée à par rapport à une autre base de , les matrices et sont semblables, donc aussi les matrices et ; elles ont donc même déterminant. Donc l'expression det ne dépend que de et non pas du choix de la base de et de la matrice qui lui est associée dans cette base.

Comme le corps considéré est ou , il est infini et l'on sait qu'il y a un unique polynôme à coefficients dans , associé à la fonction polynôme det . On le note det .

Plus précisément, si

det , on a

det .

Remarque

Les étudiants qui ne connaissent pas la théorie des polynômes peuvent l'admettre aisément ; tout fonctionne ici, pour les polynômes, comme pour les fonctions polynômes qui sont bien connues.

De plus la notation det est en fait tout à fait justifiable : en effet la théorie des déterminants des matrices à coefficients dans un corps se généralise aux matrices à coefficients dans un anneau commutatif (de caractéristique différente de 2) par exemple l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps ( ou ici). Il n'y a donc aucun inconvénient à écrire

det det

Dans cette première ressource sur la diagonalisation des endomorphismes, il n'y a aucune difficulté théorique de ce point de vue et l'utilisation de ces propriétés et notations ne pose aucun problème.

On peut donc donner la définition suivante :

Définition : Polynôme caractéristique

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension , entier supérieur ou égal à ( est égal à ou ) et la matrice associée à par rapport à une base de .

Le polynôme det qui est égal à det est appelé polynôme caractéristique de et est noté .

det det

C'est un polynôme à coefficients dans , de degré , dont le coefficient dominant est .

Exemple
  1. Si l'on reprend les exemples précédents, il vient :

  2. Il est immédiat que

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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Simuler
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