Sous-espace propre associé à une valeur propre
Une fois déterminées les valeurs propres d'un endomorphisme, s'il y en a, on peut rechercher les vecteurs propres associés. Cela revient à résoudre l'équation linéaire \(f(v)=\lambda v\), c'est-à-dire à déterminer Ker\((f-\lambda Id_{E})\).
Définition : Sous-espace propre associé à une valeur propre
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de type fini et \(\lambda\) une valeur propre de \(f\). On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda\) le noyau de \(f-\lambda Id_{E}\), soit Ker\((f-\lambda Id_{E})\).
Les notations usuelles pour le sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) sont \(E_\lambda\) ou \(E(\lambda)\) ou \(V(\lambda)\).
Il résulte donc de la définition que le sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est un sous-espace vectoriel dont les éléments sont le vecteur nul et les vecteurs propres associés à \(\lambda\).
Compte tenu de cette définition on a les équivalences :
\(\lambda\) valeur propre \(\Leftrightarrow E_\lambda\neq\{0_{E}\}\Leftrightarrow\) dim \(E_\lambda\ge 1\)