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Polynôme minimal (niveau 1)
Le test comporte 3 questions :
Polynôme minimal de matrices d'ordre 3
Propriété d'un endomorphisme dont on connaît le polynôme minimal
Endomorphisme involutif
La durée indicative du test est de 45 minutes.
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Polynôme minimal de matrices d'ordre 3

Étant donnés , , trois éléments distincts de , déterminer le polynôme minimal des matrices de suivantes :

Propriété d'un endomorphisme dont on connaît le polynôme minimal

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de type fini, de polynôme minimal .

Justifier l'existence de deux polynômes et de degrés au plus 1 tels que .

Endomorphisme involutif

Soit un espace vectoriel de dimension finie sur et g un endomorphisme diagonalisable de .

On suppose qu'il existe un entier supérieur ou égal à 3 tel que .

Démontrer l'égalité .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Polynôme minimal de matrices d'ordre 3

est une matrice diagonale donc évidemment diagonalisable, ses valeurs propres sont les trois éléments distincts de la diagonale ; le polynôme minimal de A1 a pour racines les réels , , , et ce sont des racines simples. On en déduit que .

est une matrice diagonale donc évidemment diagonalisable, ses valeurs propres sont (simple) et (double) ; le polynôme minimal de A2 a pour racines les réels et et ce sont des racines simples. On en déduit que .

Remarque :

Pour les deux matrices A1 et A2 on pouvait également les décomposer en blocs dont les polynômes minimaux sont triviaux et obtenir ensuite le polynôme minimal comme PPCM des polynômes minimaux de chacun des blocs : par exemple a pour polynôme minimal et a pour polynôme minimal , les complexes et étant distincts, on en déduit que .

est une matrice triangulaire, ses valeurs propres sont (simple) et (double) ; les réels et sont les racines du polynôme minimal mais ici, ne sachant pas si cette matrice est diagonalisable, on ne sait pas si ces racines sont simples ou non.

Le plus rapide est de décomposer cette matrice en blocs :

  • dont le polynôme minimal est

  • dont le polynôme minimal est de la forme est le plus petit entier tel que ; il est facile de vérifier que et , donc .

Le polynôme minimal de A3 est le PPCM de et , donc .

est une matrice diagonale égale à aI3 on a donc , d'où .

est une matrice triangulaire, son unique valeur propre est (triple) ; le réel est la racine du polynôme minimal, celui-ci est donc de la forme , où est le plus petit entier tel que .

Donc

est une matrice triangulaire, son unique valeur propre est (triple). Pour calculer le polynôme minimal, le plus simple est de décomposer cette matrice en blocs comme pour la matrice A3 :

  • dont le polynôme minimal est .

  • dont le polynôme minimal est .

Le polynôme minimal de A6 est le PPCM de et , donc .

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Propriété d'un endomorphisme dont on connaît le polynôme minimal

Le polynôme est le polynôme minimal de , c'est donc un polynôme annulateur de .

On a donc : .

D'où la relation .

On considère le polynôme .

La relation précédente s'écrit donc .

Or les racines de sont 1 et -2, ce qui donne la factorisation de :

avec et .

D'où .

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Endomorphisme involutif

La relation ( entier supérieur ou égal à 3) peut aussi s'écrire , on en déduit donc que est un polynôme annulateur de , donc est un multiple du polynôme minimal de .

On sait de plus que est un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel réel. Le polynôme minimal de est donc scindé dans et ses racines sont simples. Les racines de sont aussi des racines de : ce sont des racines m-ièmes de l'unité. Les seules racines réelles sont 1 et -1 si est pair et seulement 1 si est impair.

Les seules possibilités pour sont donc : ou . Ce qui donne , ou .

On a donc dans tous les cas est donc un endomorphisme involutif.

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/30
Seuil critique :20
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :45 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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