Endomorphisme involutif
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie sur \(\mathbb R\) et g un endomorphisme diagonalisable de \(E\).
On suppose qu'il existe un entier \(m\) supérieur ou égal à 3 tel que \(g^m=Id_E\).
Démontrer l'égalité \(g^2=Id_E\).
Solution
La relation \(g^m=Id_E\) (\(m\) entier supérieur ou égal à 3) peut aussi s'écrire \(g^m-Id_E\), on en déduit donc que \(X^m-1\) est un polynôme annulateur de \(g\), donc \(X^m-1\) est un multiple du polynôme minimal de \(g\).
On sait de plus que \(g\) est un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel réel. Le polynôme minimal de \(g\) est donc scindé dans \(R\) et ses racines sont simples. Les racines de \(P_{min,g}\) sont aussi des racines de : ce sont des racines m-ièmes de l'unité. Les seules racines réelles sont 1 et -1 si \(m\) est pair et seulement 1 si \(m\) est impair.
Les seules possibilités pour \(P_{min,g}\) sont donc : \(X-1, X+1\) ou \(X^2-1\). Ce qui donne \(g=Id_E\), \(g=-Id_E\) ou \(g^2=Id_E\).
On a donc dans tous les cas \(g^2=Id_E, g\) est donc un endomorphisme involutif.